Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象交于y轴的负半轴，与x轴交于点（-2，0）、（x₁，0），且0＜x₁＜1，下面结论：①abc＜0；②4a-2b+c=0；③2a-b＞0；④2a+c＜0，其中正确的个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：根据题意画出函数图象，由抛物线开口向上得到a＞0，利用抛物线与x轴的交点坐标得到-1＜-＜0，由抛物线交于y轴的负半轴得到c＜0，则abc＜0；把（-2，0）代入抛物线解析式可得到4a-2b+c=0；利用-1＜-＜0和a＞0得到2a-b＞0；由于x=1时y＞0，则a+b+c＞0，再由4a-2b+c=0得b=，然后代入整理可得到2a+c＞0．
解答：如图，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵与x轴交于点（-2，0）、（x₁，0），且0＜x₁＜1，
∴抛物线的对称轴在y轴的左侧，且-1＜-＜0，
∴b＞0，
而抛物线交于y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x=-2时y=0，
∴4a-2b+c=0，所以②正确；
∵-1＜-＜0，而a＞0，
∴-2a＜-b，即2a-b＞0，所以③正确；
∵x=1时y＞0，
∴a+b+c＞0，
由4a-2b+c=0得b=，
∴a++c＞0，
∴2a+c＞0，所以④正确．
故选D．
点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没交点．