题目内容

如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点,并经过B点,已知A点坐标是(2,0),B点的坐标是(8,6).
(1)求二次函数的解析式.
(2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标.
(3)该二次函数的对称轴交x轴于C点.连接BC,并延长BC交抛物线于E点,连接BD,DE,求△BDE的面积.
(4)抛物线上有一个动点P,与A,D两点构成△ADP,是否存在SADP=SBCD?若存在,请求出P点的坐标;若不存在.请说明理由.

(1)二次函数解析式为:y=x2﹣4x+6;
(2)函数图象的顶点坐标为(4,﹣2),点D的坐标为(6,0);
(3)△BDE的面积为7.5.
(4)存在,P1(4+),P2(4﹣),P3(3,﹣),P4(5,﹣).

解析试题分析:(1)利用待定系数法求出b,c即可求出二次函数解析式;
(2)把二次函数式转化可直接求出顶点坐标,由A对称关系可求出点D的坐标;
(3)由待定系数法可求出BC所在的直线解析式,与抛物线组成方程求出点E的坐标,利用△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积求出△BDE的面积;
(4)设点P到x轴的距离为h,由SADP=SBCD求出h的值,根据h的正,负值求出点P的横坐标即可求出点P的坐标.
试题解析:(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象过A(2,0),B(8,6)
,解得
∴二次函数解析式为:y=x2﹣4x+6;
(2)由y=x2﹣4x+6,得y=(x﹣4)2﹣2,
∴函数图象的顶点坐标为(4,﹣2),
∵点A,D是y=x2+bx+c与x轴的两个交点,
又∵点A(2,0),对称轴为x=4,
∴点D的坐标为(6,0);
(3)∵二次函数的对称轴交x轴于C点.
∴C点的坐标为(4,0)
∵B(8,6),
设BC所在的直线解析式为y=kx+b,
解得
∴BC所在的直线解析式为y=x﹣6,
∵E点是y=x﹣6与y=x2﹣4x+6的交点,
x﹣6=x2﹣4x+6
解得x1=3,x2=8(舍去),
当x=3时,y=﹣3,
∴E(3,﹣),
∴△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积=×2×6+×2×=7.5.
(4)存在,
设点P到x轴的距离为h,
∵SBCD=×2×6=6,SADP=×4×h=2h,
∵SADP=SBCD
∴2h=6×,解得h=
当P在x轴上方时,
=x2﹣4x+6,解得x1=4+,x2=4﹣
当当P在x轴下方时,
=x2﹣4x+6,解得x1=3,x2=5,
∴P1(4+),P2(4﹣),P3(3,﹣),P4(5,﹣).
考点:二次函数综合题.

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