Question

如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB分别交OC于点E，交弧BC于点D，连接CD、OD，给出以下5个结论：①OD∥AC；②AC=2CD；③CE=OE；④S_△AEC=2S_△DEO；⑤线段OD是DE与DA的比例中项；其中正确结论的序号是

①④

．

Answer 1

分析：①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD=∠ADO即可；
②过点O作OG⊥AC，再根据直角三角形斜边大于直角边可证；
③在△AEC和△AEO中，只有∠CAD=∠DAO，其它两角都不相等，不能证明△AEC和△AEO全等，
④利用相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质得出即可；
⑤△ADO和△DOE不相似，故线段OD不是DE与DA的比例中项．

解答：证明：①∵AB是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO=

1

2

∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴故①选项正确．

②过点O作OG⊥AC，
∵OG⊥AC，
∴

AG

=

CG

，
∵半径OC⊥AB于点O，
∴

AG

=

CG

=

CD

，
∴AG=GC=CD，
∴AC＜2CD，
∴故②选项错误．

③∵在△AEC和△AEO中，只有∠CAD=∠DAO，其它两角都不相等，
∴不能证明△AEC和△AEO全等，
∴故③选项错误；

④过点E作EM⊥AC于点M，
∵AO=CO，AO⊥CO，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∴CM=ME，
∵AD平分∠CAB分别交OC于点E，
EO⊥AO，EM⊥AC，
∴ME=EO，
∴CM=ME=EO，
∴CE=

2

ME=

2

EO，
由①得：∵AC∥OD，
∴△ACE∽△DOE，
∴

EC

EO

=

2

，
∴

S△AEC

S△DEO

=（

2

）²=2，
∴S_△AEC=2S_△DEO；故此选项正确，

．⑤∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAC=

1

2

×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AC∥DO，
∴∠CAD=∠ADO=22.5°，
∴△ADO是等腰三角形，
△DOE中，∠ADO=22.5°，∠EOD=45°，
∴△ADO和△DOE不相似，
∴线段OD不是DE与DA的比例中项，
∴故⑤错误．
综上所述，只有①④正确．
故答案为：①④．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中，很适合学生的训练是一道典型的题目．