题目内容
（2007•大连）如图，二次函数y=ax2的图象与一次函数y=x+b的图象相交于A（-2，2）、B两点，从点A和点B分别引平行于y轴的直线与x轴分别交于C，D两点，点P（t，0），为线段CD上的动点，过点P且平行于y轴的直线与抛物线和直线分别交于R，S．（1）求一次函数和二次函数的解析式，并求出点B的坐标；
（2）当SR=2RP时，计算线段SR的长；
（3）若线段BD上有一动点Q且其纵坐标为t+3，问是否存在t的值，使S△BRQ=15？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．
【答案】分析：（1）将A点坐标分别代入抛物线和直线的解析式中即可求出两函数的解析式．然后联立两函数的函数式即可求出B点的坐标．
（2）线段SR实际是直线AB的函数值和抛物线函数值的差．而RP的长实际是R点的纵坐标，根据SR=2RP可得出一个关于P点横坐标t的方程，据此可求出P点的横坐标t．然后代入SR的表达式即可求出SR的长．
（3）可用t表示出BQ的长，再根据D，P的坐标用t表示出R到BD的距离，然后根据三角形的面积公式即可得出△BRQ的面积表达式，根据其面积为15可求出t的值．
解答：
解：（1）由题意知点A（-2，2）在y=ax2的图象上，又在y=x+b的图象上
所以得2=a（-2）2和2=-2+b，
∴
，b=4．
∴一次函数的解析式为y=x+4．
二次函数的解析式为y=
x2．
由
，
解得
或
，
所以B点的坐标为（4，8）．
（2）因过点P（t，0）且平行于y轴的直线为x=t，
得
，
所以点S的坐标（t，t+4）．
由
得
，
所以点R的坐标（t，
t2）．
所以SR=t+4-
t2，RP=
t2．
由SR=2RP得t+4-
t2=2×
t2，
解得
或t=2．
因点P（t，0）为线段CD上的动点，
所以-2≤t≤4，
所以
或t=2
当t=2时，SR=2+4-
×22=4
所以线段SR的长为
或4．
（3）存在符合题意的t．
因BQ=8-（t+3）=5-t，点R到直线BD的距离为4-t，
所以S△BRQ=
（5-t）（4-t）=15．
解得t=-1或t=10．
因为-2≤t≤4，
所以t=-1．
点评：本题考查一次函数和二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
（2）线段SR实际是直线AB的函数值和抛物线函数值的差．而RP的长实际是R点的纵坐标，根据SR=2RP可得出一个关于P点横坐标t的方程，据此可求出P点的横坐标t．然后代入SR的表达式即可求出SR的长．
（3）可用t表示出BQ的长，再根据D，P的坐标用t表示出R到BD的距离，然后根据三角形的面积公式即可得出△BRQ的面积表达式，根据其面积为15可求出t的值．
解答：
解：（1）由题意知点A（-2，2）在y=ax2的图象上，又在y=x+b的图象上所以得2=a（-2）2和2=-2+b，
∴
，b=4．∴一次函数的解析式为y=x+4．
二次函数的解析式为y=
x2．由
，解得
或，所以B点的坐标为（4，8）．
（2）因过点P（t，0）且平行于y轴的直线为x=t，
得，所以点S的坐标（t，t+4）．
由
得，所以点R的坐标（t，
t2）．所以SR=t+4-
t2，RP=t2．由SR=2RP得t+4-
t2=2×t2，解得
或t=2．因点P（t，0）为线段CD上的动点，
所以-2≤t≤4，
所以
或t=2当t=2时，SR=2+4-
×22=4所以线段SR的长为
或4．（3）存在符合题意的t．
因BQ=8-（t+3）=5-t，点R到直线BD的距离为4-t，
所以S△BRQ=
（5-t）（4-t）=15．解得t=-1或t=10．
因为-2≤t≤4，
所以t=-1．
点评：本题考查一次函数和二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
