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(2006•武汉)(北师大版)连接着汉口集家咀的江汉三桥(晴川桥),是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥.它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江,是江城武汉的一道靓丽景观.桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分,桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接,相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细),拱肋的跨度AB为280米,距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米.以AB所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系.

(1)求抛物线的解析式;
(2)正中间系杆OC的长度是多少米?是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半?请说明理由.
【答案】分析:(1)首先设抛物线的解析式,代入图中的坐标可解.
(2)假设存在一根系杆的长度是OC的一半,长度为28m,得出x的值与实际不符.故没有.
解答:解:(1)结合图象由题意:
y=-x2+56.

(2)当x=0时,y=56
设存在一根系杆的长度是OC的一半,即这根系杆的长度是28米,
x=±70
相邻系杆之间的间距均为5米,最中间系杆OC在y轴上,
∴每根系杆上的点的横坐标均为整数.
∴x=±70与实际不符.
∴不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半.
点评:(1)先求出B、E两点坐标.根据建立的平面直角坐标系中的抛物线的形状,可设关系式为y=ax2+c,然后将B、E两点坐标代入关系式中可求出a、c的值.
(2)OC的长恰好等于抛物线顶点的纵坐标,再判断是否存在一根等于OC长度一半的系杆.
命题立意:此题是用二次函数的知识解决实际问题.此题是一个实际应用题,培养同学们用数学知识解决实际问题的能力,这也正体现了新课标的要求.
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