Question

（2006•武汉）（人教版）已知：二次函数y=x²-（m+1）x+m的图象交x轴于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，交y轴正半轴于点C，且x₁²+x₂²=10．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）是否存在过点D（0，-）的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，即x²-（m+1）x+m=0，根据一元二次方程根与系数的关系及x₁²+x₂²=10，可求出m的值，再根据图象与y轴正半轴于点C，可求出函数的解析式；
（2）根据题意，设出一次函数解析式y=kx-，若能求出比例系数，则可证明此直线存在．
解答：解：（1）因为x₁²+x₂²=10，
所以（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，根据根与系数的关系，（m+1）²-2m=10，
所以m=3，m=-3，
又因为点C在y轴的正半轴上，
∴m=3，
∴所求抛物线的解析式为：y=x²-4x+3；

（2）过点D（0，-）的直线与抛物线交于M（X_M，Y_M）、N（X_N，Y_N）两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称．
设直线MN的解析式为：y=kx-，
则有：Y_M+Y_N=0，（6分）
由，
x²-4x+3=kx-，
移项后合并同类项得x²-（k+4）x+=0，
∴x_M+x_N=4+k．
∴y_M+y_N=kx_M-+kx_N-=k（x_M+x_N）-5=0，
∴y_M+y_N=k（x_M+x_N）=5，
即k（k+4）-5=0，
∴k=1或k=-5．
当k=-5时，方程x²-（k+4）x+=0的判别式△＜0，直线MN与抛物线无交点，
∴k=1，
∴直线MN的解析式为y=x-，
∴此时直线过一、三、四象限，与抛物线有交点；
∴存在过点D（0，）的直线与抛物线于M，N两点，与x轴交于点E．使得M、N两点关于点E对称．
点评：此题巧妙利用了一元二次方程根与系数的关系．在（2）中，将直线与抛物线的交点问题转化为根与系数的关系解答，考查了同学们的整体思维能力．