题目内容

【题目】如图所示,1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形,它恰能被分割成10个大小不同的正方形,其中标注1、2的正方形边长分别为x、y,请你计算:

(1)第3个正方形的边长=;第5个正方形的边长=;第10个正方形的边长= . (用含x、y的代数式表示)
(2)当x=2时,第9个正方形的面积=
(3)当x、y均为正整数时,求这个完美长方形的最小周长.

【答案】
(1)x+y;x+3y;3y﹣3x
(2)100
(3)解:假设正方形1的边长为x,正方形2的边长为y,正方形3的边长为x+y,正方形4的边长为x+2y,正方形5的边长为x+3y,正方形6的边长x+3y+(y﹣x)=4y,正方形7的边长为4y﹣x,正方形8的边长为4y﹣x+3y﹣3x=7y﹣4x,正方形9的边长为10y﹣7x,正方形10的边长为4y﹣x﹣x﹣x﹣y=3y﹣3x,完美长方形存在如下关系 x+3y+4y=7y﹣4x+10y﹣7x 即可得出y=1.2x

完美长方形周长=2(x+3y+4y+x+2y+x+3y+10y﹣7x)=2(22y﹣4x)=44.8x

由于xy均为正整数,所以x=5,y=6,此时完美长方形的周长为44.8x=44.8×5=224.

答:这个完美长方形的最小周长为224


【解析】解:(1)第1、2的正方形边长分别为x、y,则第3个正方形的边长=x+y;第4个正方形的边长=x+y+y=x+2y;第5个正方形的边长=x+2y+y=x+3y;第6正方形的边长=x+3y+y﹣x=4y;第7正方形的边长=4y﹣x;第10正方形的边长=4y﹣x﹣﹣x(x+y)=3y﹣3x;
所以答案是:x+y,x+3y,3y﹣3x.(2)第9正方形的边长=x+y+x+2y﹣(3y﹣3x)=5x,
当x=2时,第9正方形的边长=5x=10,
所以第9正方形的面积为100;
所以答案是:100(3)假设正方形1的边长为x,正方形2的边长为y,正方形3的边长为x+y,正方形4的边长为x+2y,正方形5的边长为x+3y,正方形6的边长x+3y+(y﹣x)=4y,正方形7的边长为4y﹣x,正方形8的边长为4y﹣x+3y﹣3x=7y﹣4x,正方形9的边长为10y﹣7x,正方形10的边长为4y﹣x﹣x﹣x﹣y=3y﹣3x,完美长方形存在如下关系 x+3y+4y=7y﹣4x+10y﹣7x 即可得出y=1.2x
完美长方形周长=2(x+3y+4y+x+2y+x+3y+10y﹣7x)=2(22y﹣4x)=44.8x
由于xy均为正整数,所以x=5,y=6,此时完美长方形的周长为44.8x=44.8×5=224.
答:这个完美长方形的最小周长为224
【考点精析】解答此题的关键在于理解代数式求值的相关知识,掌握求代数式的值,一般是先将代数式化简,然后再将字母的取值代入;求代数式的值,有时求不出其字母的值,需要利用技巧,“整体”代入.

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