Question

(14分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－2，0)、B(0，1)两点，且对称轴是y轴．经过点C(0，2)的直线l与x轴平行，O为坐标原点，P、Q为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上的两动点．

1.(1) 求抛物线的解析式；

2.(2) 以点P为圆心，PO为半径的圆记为⊙P，判断直线l与⊙P的位置关系，并证明你的结论；

3.(3) 设线段PQ＝9，G是PQ的中点，求点G到直线l距离的最小值．

 

Answer 1

 

1.．解：(1) ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是y轴，∴b＝0．     …………………………1分

∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，0)、B(0，1)两点，

∴c＝1，a＝－，     ……………………………………3分

∴所求抛物线的解析式为y＝－x2＋1．    ……………4分

2.(2) 设点P坐标为(p，－p2＋1)，

如图，过点P作PH⊥l，垂足为H，

∵PH＝2－(－p2＋1)＝p2＋1，         …………………6分

OP＝＝－p2＋1，     ………………8分

∴OP＝PH，

∴直线l与以点P为圆心，PO长为半径的圆相切．    …………………………………9分

3.(3) 如图，分别过点P、Q、G作l的垂线，垂足分别是D、E、F. 连接EG并延长交DP的延长线于点K，

∵G是PQ的中点，

∴易证得△EQG≌△KPG，

∴EQ＝PK，        ………………………………………11分

由(2)知抛物线y＝－x2＋1上任意一点到原点的距离等于该点到直线l：y＝2的距离，

 即EQ＝OQ，DP＝OP，    …………………………………12分

∴ FG＝DK＝(DP＋PK)＝(DP＋EQ)＝(OP＋OQ)， ……13分

∴只有当点P、Q、O三点共线时，线段PQ的中点G到直线l的距离GF最小，

∵PQ＝9，

∴GF≥4.5，即点G到直线l距离的最小值是4.5．      …………………………………14分

(若用梯形中位线定理求解扣1分)

 

解析:略