Question

已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。

（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（ ， ）；
（2）若P，A两点在抛物线y=-x²+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；
（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）30，（，）； （2）∵点P（，），A（，0）在抛物线上 ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1 C点坐标为（0，1） ∵-×02+×0+1=1 ∴C点在此抛物线上。
（3）假设存在这样的点M，使得四边形MCAP的面积最大 ∵△ACP面积为定值， ∴要使四边形MCAP的面积最大，只需使△PCM的面积最大 过点M作MF⊥x轴分别交CP、CB和x轴于E、N和F，过点P作PG⊥x轴交CB于G =ME·CG=ME 设M（x0，y0）， ∵∠ECN=30°，CN=x0，∴EN=x0 ∴ME=MF-EF=-x02+x0 ∴=-x02+x ∵a=-＜0， ∴S有最大值 当x0=时，S的最大值是 ∵ ∴四边形MCAP的面积的最大值为 此时M点的坐标为（，） 所以存在这样的点M（，），使得四边形MCAP的面积最大，其最大值为。