题目内容

如图，在平面坐标系中，直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．
（1）求∠OAB的度数；
（2）求证：△AOF∽△BEO；
（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S₁，△OEF的面积为S₂．试探究：S₁+S₂是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵直线y=-x+2，∴当x=0时，y=2，B（0，2），
当y=0时，x=2，A（2，0）∴OA=OB=2．
∵∠AOB=90°
∴∠OAB=45°；

（2）∵四边形OMPN是矩形，
∴PM∥ON，NP∥OM，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴BE= $\text{[math]}$ OM，AF= $\text{[math]}$ ON，
∴BE•AF= $\text{[math]}$ OM• $\text{[math]}$ ON=2OM•ON．
∵矩形PMON的面积为2，
∴OM•ON=2
∴BE•AF=4．
∵OA=OB=2，
∴OA•OB=4，
∴BE•AF=OA•OB，
即 $\text{[math]}$ ．
∵∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AOF∽△BEO；

（3）∵四边形OAPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形．
∵E点的横坐标为a，E（a，2-a），
∴AM=EM=2-a，
∴AE²=2（2-a）²=2a²-8a+8．
∵F的纵坐标为b，F（2-b，b）
∴BN=FN=2-b，
∴BF²=2（2-b）²=2b²-8b+8．
∴PF=PE=a+b-2，
∴EF²=2（a+b-2）²=2a²+4ab+2b²-8a-8b+8．
∵ab=2，
∴EF²=2a²+2b²-8a-8b+16
∴EF²=AE²+BF²．

∴线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆的面积为
S₁= $\text{[math]}$ EF²= $\text{[math]}$ •2（a+b-2）²= $\text{[math]}$ （a+b-2）²．
∵S_梯形OMPF= $\text{[math]}$ （PF+ON）•PM，S_△PEF= $\text{[math]}$ PF•PE，S_△OME= $\text{[math]}$ OM•EM，
∴S₂=S_梯形OMPF-S_△PEF-S_△OME，
= $\text{[math]}$ （PF+ON）•PM- $\text{[math]}$ PF•PE- $\text{[math]}$ OM•EM，
= $\text{[math]}$ [PF（PM-PE）+OM（PM-EM）]，
= $\text{[math]}$ （PF•EM+OM•PE），
= $\text{[math]}$ PE（EM+OM），
= $\text{[math]}$ （a+b-2）（2-a+a），
=a+b-2．
∴S₁+S₂= $\text{[math]}$ （a+b-2）²+a+b-2．
设m=a+b-2，则S₁+S₂= $\text{[math]}$ m²+m= $\text{[math]}$ （m+ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，
∵面积不可能为负数，
∴当m＞- $\text{[math]}$ 时，S₁+S₂随m的增大而增大．
当m最小时，S₁+S₂最小．
∵m=a+b-2=a+ $\text{[math]}$ -2=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）²+2 $\text{[math]}$ -2，
∴当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即a=b= $\text{[math]}$ 时，m最小，最小值为2 $\text{[math]}$ -2
∴S₁+S₂的最小值= $\text{[math]}$ （2 $\text{[math]}$ -2）²+2 $\text{[math]}$ -2，
=2（3-2 $\text{[math]}$ ）π+2 $\text{[math]}$ -2．
分析：（1）当x=0或y=0时分别可以求出y的值和x的值就可以求出OA与OB的值，从而就可以得出结论；
（2）根据平行线的性质可以得出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，就可以得出 $\text{[math]}$ ．再由∠OAF=∠EBO=45°就可以得出结论；
（3）先根据E、F的坐标表示出相应的线段，根据勾股定理求出线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则可以表示此三角形的外接圆的面积S₁，再由梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以表示出S₂，就可以表示出和的解析式，再由如此函数的性质就可以求出最值．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理及勾股定理的逆定理的运用，梯形的面积公式的运用，圆的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用二次函数的顶点式的运用，在解答时运用二次函数的顶点式求最值是关键和难点．