Question

操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90⁰，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。研究：

（1）       三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明。

（2）       三角板绕点P旋转，是否能居为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由。

    （3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB＝1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图④加以证明。

     

Answer 1

解：(1)已知抛物线y₁=-x²+bx+c经过点A(1,0)， B(0,-2)，       

∴    解得

∴ 所求抛物线的解析式为y₁=-x² +3x-2 ．

′

（3）       解法1： ∵ A(1,0)，B(0,-2)，

（4）        ∴ OA=1,OB=2．

      由旋转性质可得O′A=OA=1，O′B′=OB=2．

∴ B′ 点的坐标为 (3，-1) ．

      ∵ 抛物线y₁的顶点D (,)，

抛物线y₂ 是由y₁沿对称轴平移后得到的，

∴ 可设y₂ 的解析式为y₂= - (x -)² +k ．

∵ y₂经过点B′，∴ - (3 -)² +k= -1．解得k=．

∴ y₂= - (x -)² +．…………………………………………………………… 4′

解法2：同解法1 得B′ 点的坐标为 (3，-1) ．

∵ 当x=3时，由y₁=-x² +3x-2得y=-2，可知抛物线y₁过点 (3，-2) ．

∴ 将抛物线y₁沿y轴向上平移1个单位后过点B′．

∴ 平移后的抛物线y₂的解析式为：y₂=-x² +3x-1 ．…………………………… 4′

（3）∵ y₁=-x²+3x-2 = -(x-)² +，y₂=-x² +3x-1= -(x-)² +，

∴ 顶点D(,)，D₁(,)． ∴ DD₁=1．

又B₁(0，-2)，B₁(0，-1)，∴ BB₁=1．

 设M点坐标为(m，n) ，

∵ BB₁=DD₁，由，

可知当m≤0时，符合条件的M点不存在；…………………………………… 5′

  而当0<m<时，有m=2(-m)，解得m=1；

当m>时，有m=2(m -)，解得m=3．

当m=1时，n=1； 当m=3时，n=-1．

∴ M₁(1,1)，M₂ (3,-1)．…………………………………………………………… 7′