如图所示.直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分.E.F分别与BC交于点E.与AD交于点F.设AB=a.AD=b.BE=x.(1)求证:AF=EC,(2)用剪刀将纸片沿直线EF剪开后.再将纸片ABEF沿AB对称翻折.然后平移拼接在梯形ECDF的下方.使一底边重合.直腰落在边DC的延长线上.拼接后.下方的梯形记作EE′B′C.①求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时.所对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图所示，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB=a，AD=b，BE=x。
（1）求证：AF=EC；
（2）用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C。
①求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的 x︰b的值；
②在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？

解：（1）∵AB=a，AD=b，BE=x，S_梯形ABEF=S_梯形CDFE， ∴a（x+AF）=a（EC+b-AF）， ∴2AF=EC+（b-x），又∵EC=b-x， ∴2AF=2EC，即AF=EC；
（2）①当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一）， ∵EC∥E′B′，　 ∴，由EC=b-x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，得， ∴x︰b=，
当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二），在梯形AE′B′D中， ∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点， ∴CE=（AD+E′B′），即b-x=（b+x）， ∴x︰b=；
②如图（三），当直线EE′ 经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF，证明：连接BF， ∵FD∥BE，FD=BE， ∴四边形FBED是平行四边形， ∴FB∥DE，FB=DE，又∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点， ∴DE=EE′， ∴FB∥EE′， FB=EE′， ∴四边形BE′EF是平行四边形 ∴BE′∥EF，
如图（四），当直线EE′ 经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，设直线EF与BE′交于点G，过点E′作E′M⊥BC于M，则E′M=a， ∵x︰b=， ∴EM=BC=b，若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG=90°，又∵∠BEG=∠FEC=∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E=90°， ∴∠GBE=∠ME′E，在Rt△BME′中，tan∠E′BM=tan∠GBE=，在Rt△EME′中，tan∠ME′E =， ∴，又∵a＞0，b＞0，， ∴当时，BE′与EF垂直。

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（2）如图②，在图①的基础上，将△ADE绕A点顺时针旋转到如图②的位置，其中D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点．则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论；
（3）若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图③的位置，F为线段BD的中点，连接EF、FC，请你完成图③，并直接写出线段EF与FC的关系（无需证明）．

矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别是O（0，0），B（0，3），D（-2，0），直线AB交x轴于点A（1，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；
（3）过点E作x轴的平行线EF交AB于点F，将直线AB沿x轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H，请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，使得S_△PAG=

S_△PEH？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

22、用尺轨三等分任意角是数学中的一大难题，但我们可以用“折纸法”把一个直角三等分．如图所示，
具体做法：（1）将一矩形纸片ABCD对折，EF为折痕；
（2）继续沿过点C的直线CO对折，使点B落在EF上得到点G，则CO、CG就把∠BCD三等分了．请你写出它的推理过程．

如图所示，点A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD．

(1)

如图所示甲，若EF与BD相交于G，试问EG与FG能相等吗？试说明理由．

(2)

如图所示乙，若将△DEC的边EC沿AC方向移动至图中所示位置时，其余条件不变，(1)中结论是否还能成立？请说明理由．

解：（1）∵AB=a，AD=b，BE=x，S_梯形ABEF=S_梯形CDFE， ∴a（x+AF）=a（EC+b-AF）， ∴2AF=EC+（b-x），又∵EC=b-x， ∴2AF=2EC，即AF=EC；
（2）①当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一）， ∵EC∥E′B′，　 ∴，由EC=b-x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，得， ∴x︰b=，
当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二），在梯形AE′B′D中， ∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点， ∴CE=（AD+E′B′），即b-x=（b+x）， ∴x︰b=；
②如图（三），当直线EE′ 经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF，证明：连接BF， ∵FD∥BE，FD=BE， ∴四边形FBED是平行四边形， ∴FB∥DE，FB=DE，又∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点， ∴DE=EE′， ∴FB∥EE′， FB=EE′， ∴四边形BE′EF是平行四边形 ∴BE′∥EF，
如图（四），当直线EE′ 经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，设直线EF与BE′交于点G，过点E′作E′M⊥BC于M，则E′M=a， ∵x︰b=， ∴EM=BC=b，若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG=90°，又∵∠BEG=∠FEC=∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E=90°， ∴∠GBE=∠ME′E，在Rt△BME′中，tan∠E′BM=tan∠GBE=，在Rt△EME′中，tan∠ME′E =， ∴，又∵a＞0，b＞0，， ∴当时，BE′与EF垂直。

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