题目内容

如图所示，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB=a，AD=b，BE=x。
（1）求证：AF=EC；
（2）用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C。
①求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的 x︰b的值；
②在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？
解：（1）∵AB=a，AD=b，BE=x，S梯形ABEF=S梯形CDFE，
∴a（x+AF）=a（EC+b-AF），
∴2AF=EC+（b-x），
又∵EC=b-x，
∴2AF=2EC，
即AF=EC；
（2）①当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一），
∵EC∥E′B′，　
∴，
由EC=b-x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，得，
∴x︰b=，
当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二），
在梯形AE′B′D中，
∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，
∴CE=（AD+E′B′），
即b-x=（b+x），
∴x︰b=；
②如图（三），
当直线EE′ 经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF，
证明：连接BF，
∵FD∥BE，FD=BE，
∴四边形FBED是平行四边形，
∴FB∥DE，FB=DE，
又∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，
∴DE=EE′，
∴FB∥EE′， FB=EE′，
∴四边形BE′EF是平行四边形
∴BE′∥EF，
如图（四），
当直线EE′ 经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，
设直线EF与BE′交于点G，过点E′作E′M⊥BC于M，则E′M=a，
∵x︰b=，
∴EM=BC=b，
若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG=90°，
又∵∠BEG=∠FEC=∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E=90°，
∴∠GBE=∠ME′E，
在Rt△BME′中，tan∠E′BM=tan∠GBE=，
在Rt△EME′中，tan∠ME′E =，
∴，
又∵a＞0，b＞0，，
∴当时，BE′与EF垂直。
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