题目内容

对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a-b+3c=0，则方程一定有两个不相等的实数根；
②若b2-2ac＜0，则方程没有实数根；
③若方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根，则方程cx2+bx+a=0也没有实数根；
④若方程ax2+bx+c=0没有实数根，则方程ax2+bx-c=0必有两个不相等的实数根；
其中正确的是（　　）
分析：利用根的判别式判断即可得到正确的选项．
解答：解：①∵a-b+3c=0，∴b=a+3c，
∴b2-4ac=（a+3c）2-4ac=（a+c）2+8c2，
∵a≠0，∴b2-4ac＞0，
则方程一定有两个不相等的实数根，本选项正确；
②若b2-2ac＜0，得到b2-4ac＜-2ac，
而-2ac可能为正值，故方程不一定没有实数根，本选项错误；
③若方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根，得到b2-4ac＜0，
当c=0时，方程cx2+bx+a=0变形为bx+a=0，有实数根，本选项错误；
④若方程ax2+bx+c=0没有实数根，得到b2-4ac＜0，
则方程ax2+bx-c=0中，△=b2+4ac＞0，故方程必有两个不相等的实数根，本选项正确，
故选C
点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
练习册系列答案
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对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果a＋b＋c＝0，那么它的两个根分别为x1＝1，x2＝．说明如下：

由于a＋b＋c＝0，则c＝－a－b

将c＝－a－b代入原方程，得ax2＋bx－a－b＝0．

即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，所以(x－1)(ax＋a＋b)＝0

解得x1＝1，x2＝．

请利用上面推导出来的结论，快速求解下列方程：

(1)3x2－5x＋2＝0，x1＝________，x2＝________；

(2)7x2－4x－3＝0，x1＝________，x2＝________；

(3)13x2＋7x－20＝0，x1＝________，x2＝________；

(4)x2－(＋1)x＋＝0，x1＝________，x2＝________；

(5)2004x2－2003x－1＝0，x1＝________，x2＝________；

(6)(b－c)x2＋(c－a)x＋(a－b)＝0(b≠c)，x1＝________，x2＝________；

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　　将c＝－a－b代入原方程，得ax2＋bx－a－b＝0．

　　即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，所以(x－1)(ax＋a＋b)＝0

　　解得x1＝1，x2＝．

请利用上面推导出来的结论，快速求解下列方程：

(1)3x2－5x＋2＝0，　　　　　　　(2)7x2－4x－3＝0，

x1＝________，x2＝________；　　x1＝________，x2＝________；

(3)13x2＋7x－20＝0，　　　　　　(4)x2－(＋1)x＋＝0，

x1＝________，x2＝________；　　x1＝________，x2＝________；

(5)2004x2－2003x2－1＝0，x1＝________；x2＝________；

(6)(b－c)x2＋(c－a)x＋(a－b)＝0(b≠c)，

x1＝________，x2＝________．

(7)请你写出3个一元二次方程，使它们都有一个根是1．

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