题目内容

【题目】已知直线ABCD.

(1)如图1,直接写出∠BME、E、END的数量关系为   

(2)如图2,BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P,试探究∠P与∠E之间的数量关系,并证明你的结论;

(3)如图3,ABM=MBE,CDN=NDE,直线MB、ND交于点F,则 =   

【答案】(1) ∠E=END﹣BME (2)E+2NPM=180°(3)

【解析】(1)根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.

(2)根据平行线的性质,三角形外角定理,角平分线的性质即可解答.

(3)根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.

(1)如图1,ABCD,

∴∠END=EFB,

∵∠EFBMEF的外角,

∴∠E=EFB﹣BME=END﹣BME,

(2)如图2,ABCD,

∴∠CNP=NGB,

∵∠NPMGPM的外角,

∴∠NPM=NGB+PMA=CNP+PMA,

MQ平分∠BME,PN平分∠CNE,

∴∠CNE=2CNP,FME=2BMQ=2PMA,

ABCD,

∴∠MFE=CNE=2CNP,

∵△EFM中,∠E+FME+MFE=180°,

∴∠E+2PMA+2CNP=180°,

即∠E+2(PMA+CNP)=180°,

∴∠E+2NPM=180°;

(3)如图3,延长ABDEG,延长CDBFH,

ABCD,

∴∠CDG=AGE,

∵∠ABEBEG的外角,

∴∠E=ABE﹣AGE=ABE﹣CDE,

∵∠ABM=MBE,CDN=NDE,

∴∠ABM=ABE=CHB,CDN=CDE=FDH,

∵∠CHBDFH的外角,

∴∠F=CHB﹣FDH=ABE﹣CDE=ABE﹣CDE),

由①代入②,可得∠F=E,

.

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