题目内容

如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．
（1）求证：△AFO≌△CEB；
（2）若EB=5cm，CD= $数学公式$ cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，
∵OF⊥AC，
∴OF∥BC，
∴∠AOF=∠B，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∵OF⊥AC，
∴∠AFO=∠BEC=90°，
∵在△AFO和△CEB中
$\text{[math]}$ ，
∴△AFO≌△CEB（ASA）；

（2）解：连接OD，

由垂径定理得：CE=DE=5 $\text{[math]}$ cm，
∵EB=5cm，
∴∠ABC=60°，因为OB=OC，
则△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
则弧CD所对的圆心角是120°，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：x²= $\text{[math]}$ +（x-5）²，
x=10（cm），则扇形COD的面积为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cm²，
∵OE=5cm，
∴△COD的面积为 $\text{[math]}$ ×10 $\text{[math]}$ ×（10-5）=25 $\text{[math]}$ （cm²）
∴阴影部分面积为：（ $\text{[math]}$ -25 $\text{[math]}$ ）cm²．
分析：（1）AB是直径得出∠ACB=90°，推出OF∥BC，得到∠AOF=∠B，由BE=OF可得△AFO≌△CEB；
（2）连接OD，由EB=5cm，CD= $\text{[math]}$ cm可得∠B=60°，因为OB=OC，则△OBC是等边三角形，所以∠BOC=60°，则弧CD所对的圆心角是120°．由垂径定理和勾股定理可得半径是10cm，则扇形COD的面积为 $\text{[math]}$ 因为OE=5cm，所以△COD的面积为 $\text{[math]}$ ，即可求出阴影部分面积．
点评：本题考查了全等三角形的判定、扇形的面积和三角形的面积、勾股定理、平行线的性质和判定的综合应用，用了方程思想．