题目内容

精英家教网如图,BC是⊙O的直径,点A在圆上,且AB=AC=4. P为AB上一点,过P作PE⊥AB分别交BC、OA于E、F.
(1)设AP=1,求△OEF的面积;
(2)设AP=a(0<a<2),△APF、△OEF的面积分别记为S1、S2
①若S1=S2,求a的值;
②若S=S1+S2,是否存在一个实数a,使S<
15
3
?若存在,求出一个a的值;若不存在,说明理由.
分析:(1)易知△AOC、△OEF、△AFP均为等腰直角三角形,因此只需求出OF的长就可得出△OEF的面积,在直角三角形AFP中,根据AP=1,可求得AF=
2
,已知了AB、AC的长可求出OA的长,进而可得出OF的长.也就能求出△OEF的面积.
(2)①同(1)可用a表示出△OEF的面积,S2=
1
2
a2,然后根据S1=S2,可得出关于a的方程,即可求出a的值.
②根据①即可得出关于S,a的函数关系式,然后根据函数的性质即可判断出是否存在使S<
15
3
的值.
解答:解:(1)∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°,
∵AB=AC
∴∠B=∠C=45°,OA⊥BC,精英家教网
∴∠1=∠B=45°,
∵PE⊥AB
∴∠2=∠1=45°
∴∠4=∠3=45°,
则△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形.
∵AP=l,AB=4,
∴AF=
2
,OA=2
2

∴OE=OF=
2

∴△OEF的面积为
1
2
•OE•OF=1.

(2)①∵FP=AP=a,
∴S1=
1
2
a2
且AF=
2
a

∴OE=OF=2
2
-
2
a=
2
(2-a),
∴S2=
1
2
•OE•OF=(2-a)2
∵S1=S2
1
2
a2=(2-a)2
∴a=4±2
2

∵0<a<2
a=4-2
2

②S=S1+S2=
1
2
a2+(2-a)2=
3
2
a2-4a+4=
3
2
(a-
4
3
2+
4
3

∴当a=
4
3
时,S取得最小值为
4
3

15
3
4
3

∴不存在这样实数a,使S<
15
3
点评:本题考查了等腰直角三角形的性质、图形面积的求法及二次函数的应用,综合性强.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网