题目内容

观察下列计算：
1
2
+1
=
2
-1
(
2
+1)(
2
-1)
=
2
-1；
1
3
+
2
=
3
-
2
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
=
3
-
2
；
1
4
+
3
=
4
-
3
(
4
+
3
)(
4
-
3
)
=
4
-
3
；…
则：
（1）
1
10
+
9
=
 
，
1
100
+
99
=
 
；
（2）从计算结果找出规律：
 
；
（3）利用这一规律计算：
（
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2006
+
2005
）（
2006
+1）的值．
分析：将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使用平方差公式，分母变为1．
解答：解：（1）
1
10
+
9

=
10
-
9
(
10
+
9
)(
10
-
9
)

=
10
-
9
10-9

=
10
-
9
；
1
100
+
99

=
100
-
99
(
100
+
99
)(
100
-
99
)

=
100
-
99
100-99

=
100
-
99
．
（2）
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
（n是正整数）
（3）（
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2006
+
2005
）（
2006
+1）
=【（
2
-1）+（
3
-
2
）+(
4
-
3
)+…+（
2006
-
2005
）】（
2006
+1）
=（
2
-1+
3
-
2
+
4
-
3
+
2006
-
2005
）（
2006
+1）
=（
2006
-1）（
2006
+1）
=2006-1
=2005
点评：本题考查的是关于分式的分母有理化的题目．在解答此题时，关键是找出规律
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
（n是正整数）．
练习册系列答案
相关题目
观察下列计算：
1
2
+
1
=
2
-1，
1
3
+
2
=
3
-
2
，
1
4
+
3
=
4
-
3
，
1
5
+
4
=
5
-
4
…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：(
1
2
+
1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2008
+
2007
)(
2008
+1)=
 
．
观察下列计算：
1
2
+1
•（
2
+1）=（
2
-1）（
2
+1）=1，
（
1
2
+1
+
1
2
+
3
）（
3
+1）=[（
2
-1）+（
3
-
2
）]（
3
+1）=2，
（
1
2
+1
+
1
2
+
3
+
1
4
+
3
）（
4
+1）=[（
2
-1）+（
3
-
2
）+（
4
-
3
）]（
4
+1）=3，
…
从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：
（
1
2
+1
+
1
2
+
3
+
1
3
+
4
+…+
1
2010
+
2009
）（
2010
+1）的值为（　　）
A、2008B、2010
C、2011D、2009
观察下列计算：
1
2
+1
•（
2
+1）=（
2
-1）（
2
+1）=1，
（
1
2
+1
+
1
3
+
2
）（
3
+1）=[（
2
-1）+（
3
-
2
）]（
3
+1）=2，
（
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
）（
4
+1）=[（
2
-1）+（
3
-
2
）+（
4
-
3
）]（
4
+1）=3，
…
从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：
（
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2010
+
2009
）（
2010
+1）=
 
．
观察下列计算：
1
2
+
1
=
2
-
1
，
1
3
+
2
=
3
-
2
，
1
4
+
3
=
4
-
3
，
1
5
+
4
=
5
-
4
，…从计算的结果中找出规律，并利用这一规律计算：
1
2
+
1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2011
+
2010
=
2011
-1
2011
-1
．

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