Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA．

（1）求点A的坐标和∠AOB的度数；
（2）若将抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，判断点C′是否在抛物线上，请说明理由；
（4）若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）点A的坐标为（﹣2，﹣2），∠AOB=45°。
（2）四边形ACOC′为菱形。理由见解析
（3）点C′不在抛物线上。理由见解析
（4）存在符合条件的点Q。点Q的坐标为（6，4）。

试题分析：（1）由得，y=（x﹣2）²﹣2，故可得出抛物线的顶点A的坐标，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，由∠ADO=90°可知点D的坐标，故可得出OD=AD，由此即可得出结论。
∵由得，y=（x﹣2）²﹣2，
∴抛物线的顶点A的坐标为（﹣2，﹣2）。
如图1，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，∴∠ADO=90°。
∵点A的坐标为（﹣2，﹣2），点D的坐标为（﹣2，0），
∴OD=AD=2。∴∠AOB=45°。
（2）由题意可知抛物线m的二次项系数为，由此可得抛物线m的解析式过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，根据勾股定理可求出OC的长，同理可得AC的长，OC=AC，
由翻折的轴对称性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，由此即可得出结论。
四边形ACOC′为菱形。理由如下：
由题意可知抛物线m的二次项系数为，且过顶点C的坐标是（2，﹣4），
∴抛物线m的解析式为：y=（x﹣2）²﹣4，即y=x²﹣2x﹣2。
如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，

∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE﹣EF=2。
∴。
同理，AC=。
∴OC=AC。
由翻折的轴对称性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，
∴四边形ACOC′为菱形。
（3）过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，由于OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，故可得出∠COH=∠C′OG，再根据CE∥OH可知∠OCE=∠C′OG，根据全等三角形的判定定理可知△CEO≌△C′GO，故可得出点C′的坐标把x=﹣4代入抛物线进行检验即可得出结论。
点C′不在抛物线上。理由如下：
如图，过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，

∵OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，∴∠COH=∠C′OG。
∵CE∥OH，∴∠OCE=∠C′OG。
又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，∴△CEO≌△C′GO。∴OG=4，C′G=2。
∴点C′的坐标为（﹣4，2）。
把x=﹣4代入抛物线得y=0。
∴点C′不在抛物线上。
（4）∵点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，

∴设Q（a，）。
∵OC为该四边形的一条边，∴OP为对角线。
∴CQ的中点在x上。
∵C的坐标是（2，﹣4），
∴，解得a₁=6，a ₂=﹣2。
∴Q（6，4）或（﹣2，4）（Q、O、C在一直线上，舍去）。
∴点Q的坐标为（6，4）。