题目内容
【题目】如图,已知在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点P.
(1)当∠A=40°,∠ABC=60°时,求∠BPC的度数;
(2)当∠A=α°时,求∠BPC的度数.(用α的代数式表示)
(3)小明研究时发现:如果延长AB至D,再过点B作BQ⊥BP,那么BQ就是∠CBD的平分线。请你证明小明的结论.
【答案】(1)110°;(2);(3)证明见详解.
【解析】
(1)由三角形内角和定理,得到∠ABC+∠ACB=140°,由角平分线性质,得到∠2+∠4=70°,即可得到∠BPC;
(2)与(1)相同,由三角形内角和定理,得到∠ABC+∠ACB=180°-α°,由角平分线定理,得到∠2+∠4=,即可得到∠BPC;
(3)延长AB至D,过点B作BQ⊥BP,可得∠2+∠CBQ=90°,则有∠1+∠DBQ=90°,
由∠1=∠2,则∠CBQ=∠DBQ,即可得到结论成立.
解:(1)在△ABC中,∠A=40°,
∴∠ABC+∠ACB=180°40°=140°,
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠2=,∠4=
,
∴∠2+∠4=70°,
∴∠BPC=180°;
(2)在△ABC中,∠A=,
∴∠ABC+∠ACB=180°°,
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠2=,∠4=
,
∴∠2+∠4=,
∴∠BPC=180°;
(3)如图,延长AB至D,过点B作BQ⊥BP,
∵BQ⊥BP,
∴∠2+∠CBQ=90°,
∴∠1+∠DBQ=90°,
∵∠1=∠2,
∴∠CBQ=∠DBQ,
∴BQ平分∠CBD.

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