Question

以原点O为圆心，1cm为半径的圆分别交、轴的正半轴于A、B两点，点P的坐标为（2，0），动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周，设运动的时间为秒.

（1）如图一，当时，直线PQ恰好与⊙O第一次相切，连接OQ．求此时点Q的运动速度（结果保留）；

（2）若点Q按照（1）中的速度继续运动.

①当为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形；

②在①的条件下，如果直线PQ与⊙O相交，请求出直线PQ被⊙O所截的弦长.

 

Answer 1

【答案】

（1）/秒；（2）①，或；②

【解析】

试题分析：（1）连接OQ，则OQ⊥PQ，OQ=1，OP=2，所以°，即°，再根据弧长公式即可求得弧BQ的长，从而得到点Q的运动速度；

（2）①由（1）可知，当t=1时，△OPQ为直角三角形，所以，当Q＇与Q关于x轴对称时，△OPQ＇为直角三角形，此时°，，，再结合当Q＇(0，-1)或Q＇(0，1)时求解即可；

②当或时，直线PQ与⊙O相交.作OM⊥PQ，根据等面积法及勾股定理可求得PM的长，从而求的结果.

（1）连接OQ，

则OQ⊥PQ，OQ=1，OP=2，所以°，即°，

，所以点Q的运动速度为/秒；

（2）①由（1）可知，当t=1时，△OPQ为直角三角形，所以，当Q＇与Q关于x轴对称时，△OPQ＇为直角三角形，此时°，，，

当Q＇(0，-1)或Q＇(0，1)时，°，此时或，

即当，或时，△OPQ是直角三角形；

②当或时，直线PQ与⊙O相交.作OM⊥PQ，根据等面积法可知：

PQ×OM=OQ×OP，PQ=， ，

，弦长.

考点：动点综合题

点评：动点的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般压轴题形式出现，难度较大.