Question

在一堂数学课中，数学老师给出了如下问题“已知：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D．求证：CB=CD”．文文和彬彬都想到了利用辅助线把四边形的问题转化为三角形来解决．

（1）文文同学证明过程如下：连接AC（如图2）
∵∠B=∠D，AB=AD，AC=AC
∴△ABC≌△ADC，∴CB=CD
你认为文文的证法是________ 的．（在横线上填写“正确”或“错误”）
（2）彬彬同学的辅助线作法是“连接BD”（如图3），请完成彬彬同学的证明过程．

Answer 1

解：（1）错误；

（2）证明：连接BD（如图3）．

∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD（等边对等角）；
又∵∠B=∠D，
∴∠B-∠ABD=∠D-∠ADB，
即∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD（等角对等边）．
分析：（1）根据全等三角形的判定定理知，SSA不能判定两个三角形全等；
（2）作辅助线BD，构建等腰△ABD．在△ABD中，根据等腰三角形的性质知两个底角∠ADB=∠ABD，再根据已知条件∠B=∠D，从而求得∠CBD=∠CDB，易证明CB=CD（等角对等边）．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．解答（2）题时，借助于辅助线BD将隐含在题中的条件“△ABD是等腰三角形”给挖掘了出来，给证明∠CBD=∠CDB提供了有力的依据．