Question

如图1，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=10，BC=12，cosB=

3

5

，点P在边BC上移动（点P不与点B、C重合），点Q在射线AD上移动，且在移动的过程中始终有∠APQ=∠CAD，PQ交AC于点E．
（1）求对角线AC的长；
（2）若PB=4，求AE的长；
（3）当△APE为等腰三角形时，求PB的长．

Answer 1

分析：（1）作AH⊥BC，垂足为H．在直角三角形ABH中，利用余弦三角函数的定义求得BH=6，所以HC=6；然后在Rt△AHC中，由勾股定理求得AC的长度；
（2）先证明△ABP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例求得CE的长度，从而求得AE=AB-CE=10-3.2=6.8；
（3）由△APE∽△ACP推知，当△APE是等腰三角形时，△ACP也一定是等腰三角形．所以应该分类讨论：①当PC=AC=10时，PB=BC-PC=BC-AB；②当PA=PC时，△ACP∽△BCA③当AC=AP时，AE≠AP．

解答：解：（1）作AH⊥BC，垂足为H（1分）．
在Rt△ABH中，∵cosB=

BH

AB

，
∴BH=ABcosB=10×

3

5

=6，
∴HC=BC-BH=12-6=6（1分）
∴AH=

AB2-BH2

=

102-62

=8，
在Rt△AHC中，由勾股定理得AC=

AH2+HC2

=

82+62

=10（1分）

（2）∵AB=10，Ac=10，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AD∥BC，得∠CAD=∠ACB，
∵∠APQ=∠CAD，
∴∠APQ=∠ACB，
∴∠B=∠ACB=∠APQ．
∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠QPC，
又∵∠APQ=∠B，∴∠BAP=∠QPC，
即∠BAP=∠EPC（2分）
又∵∠B=∠ACB∴△ABP∽△PCE，
∴

PB

AB

=

CE

PC

（1分），即

4

10

=

CE

12-4

解得CE=3.2
∴AE=AB-CE=10-3.2=6.8（2分）

（3）∵∠APQ=∠ACB，即∠APE=∠ACB
又∵∠PAE=∠PAC
∴△APE∽△ACP（1分）
∴当△APE是等腰三角形时，△ACP也一定是等腰三角形．
①当PC=AC=10时，PB=BC-PC=BC-AB=12-10=2（1分）．
②当PA=PC时，∠PAC=∠PCA=∠ABC，∴△ACP∽△BCA（1分）．
∴

AC

PC

=

BC

AC

∴AC²=PC•BC，即10²=12PC，解得PC=

25

3

∴PB=

11

3

（1分）．
③当AC=AP时，则有∠APC=∠ACB=∠ABC，
∵点P在BC边上，∴点P与点B重合，
这与点P不与点B重合矛盾．
所以AC≠AP（1分）．
综上所述，当△APE是等腰三角形时，PB=2或PB=

11

3

（1分）．

点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、梯形、解直角三角形、勾股定理等几何知识．注意，解答（3）时，要分类讨论，以防漏解．