题目内容
【题目】如图，△ABC是边长为3的等边三角形，P是AB边上的一个动点，由A向B运动（P不与A、B重合），Q是BC延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由C向BC延长线方向运动（Q不与C重合），
（1）当∠BPQ＝90°时，求AP的长；
（2）过P作PE⊥AC于点E，连结PQ交AC于D，在点P、Q的运动过程中，线段DE的长是否发生变化？若不变，求出DE的长度；若变化，求出变化范围．
【答案】（1）AP＝1；（2）线段DE的长度不会改变；DE＝1.5.
【解析】
（1）作PF∥BC交AC于F，由等边三角形的性质就可以得出△APF是等边三角形，可证△PFD≌△QCD，由直角三角形的性质就可以得出结论；
（2）作QF⊥AC，交直线AC的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=CQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△CQF，再由AE=CF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出AC =EC+AE=CE+CF=EF，故DE=
AC，由等边△ABC的边长为3可得出DE=1.5即可．
解：（1）作PF∥BC交AC于F，如图1所示：
∴∠APF＝∠B，∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠CQD，∠PFD＝∠QCD．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC．
∴∠APF＝∠AFP＝∠A＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝AF＝PF．
∵Q与点P同时出发，速度也相同，
∴AP=CQ,
∴PF=CQ,
∴在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（ASA），
∴FD＝CD．
∵∠APD＝90°，且∠A＝60°，
∴∠PDA＝30°，
∴AD＝2AP，
∴AD＝2AF．
∵AF+FD＝2AF，
∴FD＝AF．
∴AF＝FD＝CD．
∴AF＝
AC．
∵AC＝3，
∴AP＝AF＝1；
（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．DE＝1.5.理由如下：
作QF⊥AC，交直线AC的延长线于点F，连接QE，PF，如图2所示：
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，PE∥QF，
∵点P、Q速度相同，
∴AP＝CQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠FCQ＝60°，
在△APE和△CQF中，
∵∠AEP＝∠CFQ＝90°，
∴∠APE＝∠CQF，
∴在△APE和△CQF中，
，
∴△APE≌△CQF（AAS），
∴AE＝CF，PE＝QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE＝EF，
∴AC =EC+AE＝CE+CF＝EF，
∴DE＝AC，
又∵AC＝3，
∴DE＝1.5，
∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．
