题目内容

已知：如图，△ABC中，AB=4，D是AB边上的一个动点，DE∥BC，连接DC，设△ABC的面积为S，△DCE的面积为S′．
（1）当D为AB边的中点时，求S′：S的值；
（2）若设AD=x， $数学公式$ =y，试求y与x之间的函数关系式及x的取值范围．

解：过A作AM⊥BC，交DE于点N，设AD=x，

根据DE∥BC，可以得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则DE= $\text{[math]}$ •BC，AN= $\text{[math]}$ •AM；
（1）当D为AB中点时，DE是三角形ABC的中位线，
则DE= $\text{[math]}$ BC，AN= $\text{[math]}$ AM，而S_△ABC=S= $\text{[math]}$ •AM•BC，
∴S_△DEC=S′= $\text{[math]}$ •AN•DE，
∴S₁：S的值是1：4；

（2）作AM⊥BC，垂足为M，交DE于N点，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ •MN•DE）：（ $\text{[math]}$ •AM•BC）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
即y=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ x，（0＜x＜4）．
分析：（1）当D为AB中点时，DE是三角形ABC的中位线，DE：BC=1：2，而高线的比也是1：2，则三角形的面积的比就可以求出；
（2）根据相似三角形的性质，可以得到底边DE、BC以及高线之间的关系，就可以求出面积的比．
点评：本题主要考查了相似三角形的性质以及三角形的面积的计算方法．正确表示出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 是解题关键．