Question

（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E．求证：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．
（2）依已知条件和（1）中的结论：
①如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；
②如图3，若点C在⊙O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系．

Answer 1

解：（1）连接AC，BD，
则：∠1=∠4，∠2=∠7，∠3=∠6，∠5=∠8，
∴∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=2（∠1+∠2+∠5+∠6）=360°，
∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°，
∴∠A+∠BCD=180°；
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠DCE=∠A；


（2）①连接DE，
∵∠A+∠BED=180°，∠BDE＞∠BCD，
∴∠A+∠BCD＜180°；
②延长DC交⊙O于点E，连接BE，
∵∠A+∠E=180°，∠BCD＞∠E，
∴∠A+∠BCD＞180°．
分析：（1）连接AC，BD，由同弧所对的圆周角相等与四边形的内角和为360°，即可证得∠A+∠BCD=180°；又由同角的补角相等，求得∠DCE=∠A；
（2）根据圆的内接四边形的对角互补与三角形的外角的性质，即可证得结论．
点评：此题考查了圆的内接四边形的对角互补的性质与证明，此题的图形变换比较多，所以要注意识图．