题目内容
（2013•路北区三模）已知：如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠ADE=30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
分析：（1）首先由等腰三角形的性质，可得∠OAD=∠ODA，易证得DO∥MN，即可得DE⊥OD，即得DE是⊙O的切线；
（2）根据阴影部分的面积等于扇形面积减去等边△OAB的面积求解即可．
（2）根据阴影部分的面积等于扇形面积减去等边△OAB的面积求解即可．
解答：
（1）证明：连接OD，
∵OA=OD（⊙O的半径），
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角），
∵AD平分∠CAM（已知），
∴∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE（等量代换），
∴DO∥MN（内错角相等，两直线平行）；
∵DE⊥MN（已知），
∴DE⊥OD，
∵D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OF⊥AB于F．
∵∠ADE=30°，DE⊥MN，
∴∠DAE=60°；
又∵AD平分∠CAM，
∴∠OAD=∠DAE=60°，
∴∠CAB=60°，
∴∠AOF=30°，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠CAB=
=
，
∴AF=1；
∴OF=
，
∴S阴影=S扇形-S△OAB=
-
×2×
=
π-
．
（1）证明：连接OD，∵OA=OD（⊙O的半径），
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角），
∵AD平分∠CAM（已知），
∴∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE（等量代换），
∴DO∥MN（内错角相等，两直线平行）；
∵DE⊥MN（已知），
∴DE⊥OD，
∵D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OF⊥AB于F．
∵∠ADE=30°，DE⊥MN，
∴∠DAE=60°；
又∵AD平分∠CAM，
∴∠OAD=∠DAE=60°，
∴∠CAB=60°，
∴∠AOF=30°，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠CAB=
| AF |
| OA |
| 1 |
| 2 |
∴AF=1；
∴OF=
| 3 |
∴S阴影=S扇形-S△OAB=
| 60π×2 |
| 180 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
点评：此题考查了圆的切线的性质与判定，以及相似三角形的判定与性质和三角函数的性质．此题综合型性比较强，解题时要注意数形结合思想的应用．
练习册系列答案
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（2013•路北区三模）如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．