Question

【题目】阅读下列材料，并完成相应的任务：求根分解法是多项式因式分解的一种方法，是用求多项式对应的方程的根分离出多项式的一次因式．

设f（x）是一元多项式，若方程f（x）＝0有一个根为x＝a，则多项式必有一个一次因式x﹣a，于是f（x）＝（x﹣a）g（x）．

例如，设多项式7x2﹣x﹣6为f（x），则有f（x）＝7x2﹣x﹣6，令7x2﹣x﹣6＝0，容易看出，此方程有一根为x＝1，则f（x）必有一个一次因式x﹣1，那么得到7x2﹣x﹣6＝（x﹣1）（mx+n）（m、n为常数）而（x﹣1）（mx+n）＝mx2+（n﹣m）x﹣n，所以7x2﹣x﹣6＝mx2+（n﹣m）x﹣n，由系数对应相等可得m＝7，n＝6，所以7x2﹣x﹣6＝（x﹣1）（7x+6）．

任务：（1）方程x3﹣3x2+4＝0的一根为　 　．

（2）请你根据上面的材料因式分解多项式：x3﹣3x2+4＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）x＝﹣1；（2）（x+1）（x﹣2）2．

【解析】

（1）将进行因式分解，再代入方程中，即可求方程的解；（2）将进行因式分解成（x+1），再将（x+1）运用多项式乘多项式进行展开，根据等式两边对应项的系数相等，可以求得m的值；

解：

（1）x3﹣3x2+4＝0，

（x+1）（x﹣2）2＝0，

所以x＝﹣1，

故答案为﹣1．

（2）x3﹣3x2+4＝（x+1）（x﹣m）2

＝（x+1）（x2﹣2mx+m2）

＝x3﹣2mx2+m2x+x2﹣2mx+m2

＝x3+（﹣2m+1）x2+（m2﹣2m）x+m2，

所以﹣2m+1＝﹣3，解得m＝2，

所以因式分解多项式：x3﹣3x2+4＝（x+1）（x﹣2）2，

故答案为（x+1）（x﹣2）2.