题目内容
【题目】已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．
（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；
（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求 
的值．
【答案】
（1）
解：连接DO，CO，
∵BC⊥AB于B，
∴∠ABC=90°，
在△CDO与△CBO中， 
，
∴△CDO≌△CBO，
∴∠CDO=∠CBO=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线
（2）
解：连接AD，
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
∴∠ADF+∠BDF=90°，∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠BDF+∠BDC=90°，∠CBD+∠DBA=90°，
∴∠ADF=∠BDC，∠DAB=∠CBD，
∵在△ADF和△BDC中， 
，
∴△ADF∽△BDC，
∴ 
= 
，
∵∠DAE+∠DAB=90°，∠E+∠DAE=90°，
∴∠E=∠DAB，
∵在△ADE和△BDA中， 
，
∴△ADE∽△BDA，
∴ 
= ，
∴ = ，即 
= 
，
∵AB=BC，
∴ =1
【解析】（1）连接DO，CO，易证△CDO≌△CBO，即可解题；（2）连接AD，易证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．
【考点精析】本题主要考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．
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