题目内容

【题目】(1)操作发现:

如图,矩形ABCD中,EAD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗?说明理由.

2)问题解决:

保持(1)中的条件不变,若DC=2DF,求的值;

3)类比探求:

保持(1)中条件不变,若DC=nDF,求的值.

【答案】(1)同意,理由见解析;(2;(3

【解析】试题分析:(1)求简单的线段相等,可证线段所在的三角形全等,即连接EF,证△EGF≌△EDF即可;

2)可设DF=xBC=y;进而可用x表示出DCAB的长,根据折叠的性质知AB=BG,即可得到BG的表达式,由(1)证得GF=DF,那么GF=x,由此可求出BF的表达式,进而可在RtBFC中,根据勾股定理求出xy的比例关系,即可得到的值;

3)方法同(2).

试题解析:(1)同意,连接EF

则根据翻折不变性得,

∠EGF=∠D=90°EG=AE=EDEF=EF

Rt△EGFRt△EDF中,

∴Rt△EGF≌Rt△EDFHL),

∴GF=DF

2)由(1)知,GF=DF,设DF=xBC=y,则有GF=xAD=y

∵DC=2DF

∴CF=xDC=AB=BG=2x

∴BF=BG+GF=3x

Rt△BCF中,BC2+CF2=BF2,即y2+x2=3x2

y=2x

3)由(1)知,GF=DF,设DF=xBC=y,则有GF=xAD=y

∵DC=nDF

∴BF=BG+GF=n+1x

Rt△BCF中,BC2+CF2=BF2,即y2+[n-1x]2=[n+1x]2

y=2x

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