Question

某人将一条长为56米的竹篱笆分成两段，并用每段都围成一块正方形的菜地．
（1）要想围成的两块正方形的菜地面积之和为100平方米，该怎样分？
（2）要想围成的两块正方形的菜地面积之和为200平方米，可能吗？
（3）两块正方形的菜地面积之和为最小，该怎样分？
（4）两块正方形的菜地面积之和能否达到90平方米？如能，该怎样分？如不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设其中一个正方形的边长为x，那么其周长为4x，
∴另一个正方形的周长为56-4x，
∴其边长为14-x，
依题意得
x²+（14-x）²=100，
∴2x²-28x+96=0，
∴x=6或8，
∴分成24米和32米的两段；

（2）不可能，
∵根据已知条件可以正方形的最大面积之和为196，故不可能；

（3）设面积之和为y，
依题意得
y=x²+（14-x）²=2x²-28x+196=2（x-7）²+98，
∴当x=7时y有最小值，∴14-x=7，
∴分成28米和28米的两段；

（4）不可能，
根据（3）最大正方形面积之和 最小值为98，故不可能．
分析：（1）设其中一个正方形的边长为x，那么其周长为4x，所以另一个正方形的周长为56-4x，由此可以得到正方形的边长，然后利用正方形的面积公式可以得到关于x的方程，解方程即可求解；
（2）利用（1）和已知条件即可解决问题；
（3）设面积之和为y，根据（1）可以得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（4）利用（1）的结论和已知条件即可解决问题．
点评：此题主要考查了二次函数的应用及其性质，解题时首先正确理解题意，如果根据分别列出一元二次方程和二次函数，然后解方程或利用二次函数的性质解决问题．