题目内容
19、如图，已知AB是一条河，河的一边有两个村庄M和N，现要在河AB上修一个抽水站，请你在下图中作出抽水站的位置P，使点P到点M和点N的距离之和最短．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）
已知：
求作：
分析：作点N关于直线AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，连接NP，由对称的性质可知N′P=NP，由两点之间线段最短可知点P即为所求点．
解答：
已知：直线AB及其同侧两点M、N．
求作：直线AB上的点P，使点P到点M和点N的距离之和最短．
解：作点N关于直线AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，连接NP．
∵N、N′关于直线AB对称，
∴N′P=NP，
∴MP+NP=MP+N′P=MN′．
由两点之间线段最短可知，线段MN′的长即为MP+NP的最小值，故P点即为所求点．
已知：直线AB及其同侧两点M、N．求作：直线AB上的点P，使点P到点M和点N的距离之和最短．
解：作点N关于直线AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，连接NP．
∵N、N′关于直线AB对称，
∴N′P=NP，
∴MP+NP=MP+N′P=MN′．
由两点之间线段最短可知，线段MN′的长即为MP+NP的最小值，故P点即为所求点．
点评：此题主要考查的是尺规作图和最短线路问题，熟知对称的性质及两点之间线段最短的知识是解答此题的关键，本题难度适中．
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抽水站，请你在下图中作出抽水站的位置P，使点P到点M和点N的距离之和最短．
