题目内容

(2012•义乌市模拟)已知:如图,过原点的抛物线的顶点为M(-2,4),与x轴负半轴交于点A,对称轴与x轴交于点B,点P是抛物线上一个动点,过点P作PQ⊥MA于点Q.
(1)抛物线解析式为
y=-x2-4x
y=-x2-4x

(2)若△MPQ与△MAB相似,则满足条件的点P的坐标为
(-
11
4
55
16
)、(-
2
3
20
9
(-
11
4
55
16
)、(-
2
3
20
9
分析:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+2)2+4,因为抛物线过原点,把(0,0)代入,求出a即可.
(2)由于PQ⊥MA,即∠MQP=∠MBA=90°;所以只要满足∠PMQ=∠MAB或∠PMQ=∠AMB.
①∠PMQ=∠AMB时,先找出点B关于直线MA的对称点(设为点C),显然有AC=AB=2、MC=MB=4,可根据该条件得到点C的坐标,进而求出直线MC(即直线MP)的解析式,联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标;
②∠PMQ=∠MAB时,若设直线MP与x轴的交点为D,那么△MAD必为等腰三角形,即MD=AD,根据此条件先求出点D的坐标,进而得出直线MP的解析式,联立抛物线的解析式即可得解.
解答:解:(1)∵过原点的抛物线的顶点为M(-2,4),
∴设抛物线的解析式为:y=a(x+2)2+4,
将x=0,y=0代入可得:4a+4=0,
解得:a=-1,
∴抛物线解析式为:y=-(x+2)2+4,
即y=-x2-4x;

(2)∵PQ⊥MA
∴∠MQP=∠MBA=90°;
若△MPQ、△MAB相似,那么需满足下面的其中一种情况:
①∠PMQ=∠AMB,此时MA为∠PMB的角平分线,如图①;
取点B关于直线MA的对称点C,则AC=AB=2,MC=MB=4,设点C(x,y),有:
(x+4)2+y2=4
(x+2)2+(y-4)2=16
,解得
x1=-2
y1=0
(舍),
x2=-
26
5
y2=
8
5

∴点C的坐标为(-
26
5
8
5
);
设直线MP的解析式:y=kx+b,代入M(-2,4)、(-
26
5
8
5
)得:
-2k+b=4
-
26
5
k+b=
8
5
,解得
k=
3
4
b=
11
2

∴直线MP:y=
3
4
x+
11
2

联立抛物线的解析式,有:
y=
3
4
x+
11
2
y=-x2-4x
,解得
x1=-2
y1=4
x2=-
11
4
y2=
55
16

∴点P的坐标(-
11
4
55
16
);
②∠PMQ=∠MAB,如右图②,此时△MAD为等腰三角形,且MD=AD,若设点D(x,0),则有:
(x+4)2=(x+2)2+(0-4)2,解得:x=1
∴点D(1,0);
设直线MP的解析式:y=kx+b,代入M(-2,4)、D(1,0)后,有:
-2k+b=4
k+b=0
,解得:
k=-
4
3
b=
4
3

∴直线MP:y=-
4
3
x+
4
3

联立抛物线的解析式有:
y=-
4
3
x+
4
3
y=-x2-4x
,解得:
x1=-2
y1=4
x2=-
2
3
y2=
20
9

∴点P的坐标(-
2
3
20
9

综上,符合条件的P点有两个,且坐标为(-
11
4
55
16
)、(-
2
3
20
9
).
故答案:(1)y=-x2-4x;(2)(-
11
4
55
16
)、(-
2
3
20
9
).
点评:该题虽然是一道填空题,但难度不亚于压轴题;主要的难度在于第二题,在“相似三角形→相等角→确定关键点→得到直线MP解析式”的解题思路中,综合了相似三角形、等腰三角形的性质、轴对称图形、坐标系两点间的距离公式、函数图象交点坐标的求法等重点知识,这就要求同学们有扎实的基础功底和良好的数形结合的思考方法.
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