Question

如图，△ABC的两条中线BG、CD相交于点O，点E、F分别是BO、CO的中点．
（1）说明：四边形DEFG是平行四边形；
（2）连接AO，当线段AO与BC满足怎样的位置关系时，四边形DEFG为矩形？为什么？

Answer 1

分析：（1）由中位线定理，可得ED∥BC，MN∥BC，且都等于边长BC的一半．分析到此，此题便可解答．
（2）连接OA，则AO∥ME∥DN；则OA和BC垂直，四边形DEFG为矩形进而求出即可．

解答：证明：（1）△ABC的边AC、AB上的中线BD、CE相交于点O，M、N分别是BO、CO的中点，
∴ED∥BC且ED=

1

2

BC，
MN∥BC且MN=

1

2

BC，
∴ED∥MN且ED=MN，
∴四边形MNDE是平行四边形．

（2）OA和BC垂直，四边形DEFG为矩形，
理由如下：
连接OA并延长交BC于点F；
∵E，M分别是AB，BO中点，
∴AO∥ME∥DN，
当△ABC为等腰三角形时，
∴AO⊥BC，
∵四边形DEMN是平行四边形，
∴EM⊥MN；
∴此时四边形DEMN是矩形．

点评：本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．