题目内容
【题目】如图①,AD为等腰直角△ABC的高,点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上,连接BG,AE.
(1)求证:BG=AE;
(2)将正方形DEFG绕点D旋转,当线段EG经过点A时,(如图②所示)
①求证:BG⊥CE;
②设DG与AB交于点M,若AG:AE=3:4,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②.
【解析】
试题分析:(1)如图①,根据等腰直角三角形的性质得AD=BD,再根据正方形的性质得∠GDE=90°,DG=DE,则可根据“SAS“判断△BDG≌△ADE,于是得到BG=AE;
(2)①如图②,先判断△DEG为等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°,再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°,则可得∠BGE=90°,所以BG⊥GE;
②设AG=3x,则AE=4x,即GE=7x,利用等腰直角三角形的性质得DG=GE=x,由(1)的结论得BG=AE=4x,则根据勾股定理得AB=5x,接着由△ABD为等腰直角三角形得到∠4=45°,BD=AB=x,然后证明△DBM∽△DGB,则利用相似比可计算出DM=x,所以GM=x,于是可计算出的值.
试题解析:(1)证明:如图①,∵AD为等腰直角△ABC的高,∴AD=BD,∵四边形DEFG为正方形,∴∠GDE=90°,DG=DE,在△BDG和△ADE中,∵BD=AD,∠BDG=∠ADE,DG=DE,∴△BDG≌△ADE,∴BG=AE;
(2)①证明:如图②,∵四边形DEFG为正方形,∴△DEG为等腰直角三角形,∴∠1=∠2=45°,由(1)得△BDG≌△ADE,∴∠3=∠2=45°,∴∠1+∠3=45°+45°=90°,即∠BGE=90°,∴BG⊥GE;
②设AG=3x,则AE=4x,即GE=7x,∴DG=GE=x,∵△BDG≌△ADE,∴BG=AE=4x,在Rt△BGA中,AB===5x,∵△ABD为等腰直角三角形,∴∠4=45°,BD=AB=x,∴∠3=∠4,而∠BDM=∠GDB,∴△DBM∽△DGB,∴BD:DG=DM:BD,即x:x=DM:x,解得DM=x,∴GM=DG﹣DM=x﹣x=x,∴==.