题目内容

【题目】如图①,AD为等腰直角ABC的高,点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上,连接BG,AE.

(1)求证:BG=AE;

(2)将正方形DEFG绕点D旋转,当线段EG经过点A时,(如图②所示)

①求证:BGCE;

②设DG与AB交于点M,若AG:AE=3:4,求的值.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;

【解析】

试题分析:(1)如图①,根据等腰直角三角形的性质得AD=BD,再根据正方形的性质得GDE=90°,DG=DE,则可根据“SAS“判断BDG≌△ADE,于是得到BG=AE;

(2)①如图②,先判断DEG为等腰直角三角形得到1=2=45°,再由BDG≌△ADE得到3=2=45°,则可得BGE=90°,所以BGGE;

②设AG=3x,则AE=4x,即GE=7x,利用等腰直角三角形的性质得DG=GE=x,由(1)的结论得BG=AE=4x,则根据勾股定理得AB=5x,接着由ABD为等腰直角三角形得到4=45°,BD=AB=x,然后证明DBM∽△DGB,则利用相似比可计算出DM=x,所以GM=x,于是可计算出的值.

试题解析:(1)证明:如图①,AD为等腰直角ABC的高,AD=BD,四边形DEFG为正方形,∴∠GDE=90°,DG=DE,在BDG和ADE中BD=AD,BDG=ADE,DG=DE∴△BDG≌△ADE,BG=AE;

(2)①证明:如图②,四边形DEFG为正方形,∴△DEG为等腰直角三角形,∴∠1=2=45°,由(1)得BDG≌△ADE,∴∠3=2=45°,∴∠1+3=45°+45°=90°,即BGE=90°,BGGE;

②设AG=3x,则AE=4x,即GE=7x,DG=GE=x,∵△BDG≌△ADE,BG=AE=4x,在RtBGA中,AB===5x,∵△ABD为等腰直角三角形,∴∠4=45°,BD=AB=x,∴∠3=4,而BDM=GDB,∴△DBM∽△DGB,BD:DG=DM:BD,即x:x=DM:x,解得DM=x,GM=DG﹣DM=x﹣x=x,==

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