题目内容

(1)求证:max{a,b}=
a+b+|a-b| | 2 |
(2)如果函数y1=2x+1,y2=x2-2x+4,试画出函数max{y1,y2}的图象.
分析:(1)由于结果中含有绝对值,因此考虑两种情况:①当a≥b时,可知max{a,b}=a,经过计算可得
=
=a,从而得证;②当a<b时,可知max{a,b}=b,经过计算有
=
=b,从而得证,两种情况都说明,结论是正确的;
(2)先解方程组组
,可得两个交点(1,3)和(3,7),函数y1是一次函数,即是经过(1,3)和(3,7)的直线,而函数y2的图象是顶点为(1,3),对称轴为x=1,开口向上的抛物线,在坐标轴中画图即可.
a+b+|a-b| |
2 |
a+b+a-b |
2 |
a+b+|a-b| |
2 |
a+b+b-a |
2 |
(2)先解方程组组
|
解答:
(1)证明:①当a≥b时,max{a,b}=a,
=
=a,
∴max{a,b}=
②当a<b时,max{a,b}=b,
=
=b,
∴max{a,b}=
,
故有max{a,b}=
;
(2)解:y2=(x-1)2+3,y2的图象是顶点为(1,3),对称轴
为x=1,开口向上的抛物线,
解方程组
,
得
;
,
即函数y1与y2的图象的交点为(1,3),(3,7),
函数max{y1,y2}的图象如图所示.

a+b+|a-b| |
2 |
a+b+a-b |
2 |
∴max{a,b}=
a+b+|a-b| |
2 |
②当a<b时,max{a,b}=b,
a+b+|a-b| |
2 |
a+b+b-a |
2 |
∴max{a,b}=
a+b+|a-b| |
2 |
故有max{a,b}=
a+b+|a-b| |
2 |
(2)解:y2=(x-1)2+3,y2的图象是顶点为(1,3),对称轴
为x=1,开口向上的抛物线,
解方程组
|
得
|
|
即函数y1与y2的图象的交点为(1,3),(3,7),
函数max{y1,y2}的图象如图所示.
点评:本题考查了最大数的证明、二次函数性质、一次函数性质.要注意分情况讨论,能根据函数解析式能画出一次函数、二次函数的图象.

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