Question

设max{a，b}表示a、b中较大的数，如max{2，3}=3．
（1）求证：max{a，b}=

a+b+|a-b|

2

（2）如果函数y₁=2x+1，y₂=x₂-2x+4，试画出函数max{y₁，y₂}的图象．

Answer 1

分析：（1）由于结果中含有绝对值，因此考虑两种情况：①当a≥b时，可知max{a，b}=a，经过计算可得

a+b+|a-b|

2

=

a+b+a-b

2

=a，从而得证；②当a＜b时，可知max{a，b}=b，经过计算有

a+b+|a-b|

2

=

a+b+b-a

2

=b，从而得证，两种情况都说明，结论是正确的；
（2）先解方程组组

y=2x+1 y=x2-2x+4

，可得两个交点（1，3）和（3，7），函数y₁是一次函数，即是经过（1，3）和（3，7）的直线，而函数y₂的图象是顶点为（1，3），对称轴为x=1，开口向上的抛物线，在坐标轴中画图即可．

解答：（1）证明：①当a≥b时，max{a，b}=a，

a+b+|a-b|

2

=

a+b+a-b

2

=a，
∴max{a，b}=

a+b+|a-b|

2

②当a＜b时，max{a，b}=b，

a+b+|a-b|

2

=

a+b+b-a

2

=b，
∴max{a，b}=

a+b+|a-b|

2

，
故有max{a，b}=

a+b+|a-b|

2

；

（2）解：y₂=（x-1）²+3，y₂的图象是顶点为（1，3），对称轴
为x=1，开口向上的抛物线，
解方程组

y=2x+1 y=x2-2x+4

，
得

x1=1 y1=3

；

x2=3 y2=7

，
即函数y₁与y₂的图象的交点为（1，3），（3，7），
函数max{y₁，y₂}的图象如图所示．

点评：本题考查了最大数的证明、二次函数性质、一次函数性质．要注意分情况讨论，能根据函数解析式能画出一次函数、二次函数的图象．