Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点O， 点B(-2，n)在这条抛物线上.

（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线沿y轴向下平移b个单位后得到直线l， 若直线l经过B点，求n、b的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线l与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E.若P是抛物线上一点，且PB=PE，求P点的坐标.

Answer 1

（1）；（2）3，1；（3）(，)或(，).

试题分析：（1）根据拋物线经过原点即可求得m的值，再结合二次项系数不为0即可得到结果；
（2）由点B(-2，n)在拋物线上可求得n的值，即得B点的坐标，根据平移的规律可得直线l的解析式为，由直线l经过B点即可求得结果；
（3）拋物线的对称轴为直线x=2，则对称轴与x轴的交点C的坐标为(2，0)，直线l与y轴、直线x=2的交点坐标分别为 D(0，-1)、E(2，-5).过点B作BG⊥直线x=2于G，与y轴交于F.则BG=4.在Rt△BGC中，根据勾股定理可求得CB的长，过点E作EH⊥y轴于H.则点H的坐标为 (0，-5).证得△DFB≌△DHE，即可得到点P在直线CD上，即有符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.设直线CD的解析式为y="kx+a." 将D(0，-1)、C(2，0)代入即可求得直线CD的解析式，从而求得结果.
（1）∵拋物线经过原点，
∴m²-6m+8=0．解得m₁=2，m₂=4．
由题意知m¹4，
∴m=2
∴拋物线的解析式为；
（2）∵点B(-2，n)在拋物线上，
∴n=3．
∴B点的坐标为(–2，3) ．
∵直线l的解析式为，直线l经过B点，
∴．
∴；
（3）∵拋物线的对称轴为直线x=2，直线l的解析式为y=-2x-1，
∴拋物线的对称轴与x轴的交点C的坐标为(2，0)，
直线l与y轴、直线x=2的交点坐标分别为 D(0，-1)、E(2，-5).
过点B作BG⊥直线x=2于G，与y轴交于F.

则BG=4.    
在Rt△BGC中，.
∵CE=5，
∴CB=CE. 
过点E作EH⊥y轴于H.
则点H的坐标为 (0，-5).
∵点F、D的坐标为F(0，3)、D(0，-1)，
∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴△DFB≌△DHE .
∴DB="DE."
∵PB=PE，
∴点P在直线CD上.
∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD的解析式为y="kx+a."
将D(0，-1)、C(2，0)代入，得 解得
∴直线CD的解析式为.
设点P的坐标为(x，)，
∴=.
解得 ，.
∴，.
∴点P的坐标为(，)或(，).
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.