Question

【题目】已知：如图，直线MN⊥PQ于点C，△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°，斜边AB交直线PQ于点D，CE平分∠ACN，∠BDC的平分线交EC的延长线于点F，∠A=36°．
（1）如图1，当AB∥MN时，求∠F的度数．
（2）如图2，当△ACB绕C点旋转一定的角度（即AB与MN不平行），其他条件不变，问∠F的度数是否发生改变？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB∥MN，直线MN⊥PQ，

∴PQ⊥AB，

∴∠BDC=∠DCN=90°，

∵∠ACN=∠A=36°，CE平分∠ACN，

∴∠ACE=18°，∠ACD=90°﹣∠A=54°，

∴∠DCE=∠ACD+○ACE=72°，

∵DF平分∠CDB，

∴∠CDF=45°，

∴∠F=∠DCE﹣∠CDF=27°

（2）解：不发生改变．

理由：∵CE是∠ACN的平分线，

∴∠ACE= ∠ACN，

∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=∠ACD+ ∠ACN，

∵∠BDC=∠A+∠ACD，DF平分∠BDC，

∴∠CDF= ∠BDC= ∠A+ ∠ACD，

∴∠F=∠DCE﹣∠CDF=∠ACD+ ∠ACN﹣ ∠A﹣ ∠ACD= （∠ACN+∠ACD）﹣ ∠A= ×90°﹣ ×36°=27°

【解析】（1）由AB∥MN，直线MN⊥PQ，CE平分∠ACN，DF平分∠CDB，易求得∠DCE与∠CDF的度数，然后利用三角形外角的性质，求得∠F的度数．（2）由题意可得∠DCE=∠ACD+∠ACE=∠ACD+ ∠ACN，∠CDF= ∠BDC= ∠A+ ∠ACD，则可得∠F=∠DCE﹣∠CDF=∠ACD+ ∠ACN﹣ ∠A﹣ ∠ACD= （∠ACN+∠ACD）﹣ ∠A，继而求得答案．
【考点精析】关于本题考查的平行线的性质和三角形的内角和外角，需要了解两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角才能得出正确答案．