Question

阅读材料：
已知p²-p-1=0，1-q-q²=0，且pq≠1，求

pq+1

q

的值．
解：由p²-p-1=0及1-q-q²=0，可知p≠0，q≠0．
又∵pq≠1，∴p≠

1

q

∴1-q-q²=0可变形为(

1

q

)2-(

1

q

)-1=0的特征．
所以p与

1

q

是方程x²-x-1=0的两个不相等的实数根．
则p+

1

q

=1，∴

pq+1

q

=1
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：2m²-5m-1=0，

1

n2

+

5

n

-2=0，且m≠n．求：

1

m

+

1

n

的值．

Answer 1

分析：由题意可知：可以将方程2m²-5m-1=0化简为

1

m2

+

5

m

-2=0的形式，然后根据根与系数的关系可解得：

1

m

+

1

n

的值；也可将方程

1

n2

+

5

n

-2=0化简为2n²-5n-1=0的形式，再根据根与系数的关系可解得：

1

m

+

1

n

的值．

解答：解：解法一：由2m²-5m-1=0知m≠0，
∵m≠n，∴

1

m

≠

1

n

，
得

1

m2

+

5

m

-2=0，
根据

1

m2

+

5

m

-2=0与

1

n2

+

5

n

-2=0的特征
∴

1

m

与

1

n

是方程x²+5x-2=0的两个不相等的实数根，
∴

1

m

+

1

n

=-5；
解法二：由

1

n2

+

5

n

-2=0得2n²-5n-1=0，
根据2m²-5m-1=0与2n²-5n-1=0的特征，且m≠n，
∴m与n是方程2x²-5x-1=0的两个不相等的实数根（6分）
∴m+n=

5

2

，mn=-

1

2

∴

1

m

+

1

n

=

m+n

mn

=

5 2

- 1 2

=-5．

点评：本题考查是根据题目提供的信息以及根与系数的关系来解答，从而解决问题．