Question

【题目】如图，△ABC是边长为5cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线AB，BC运动，且它们的速度都为2cm/s．设点P的运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，△ABQ≌△CBP．

（2）连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．

Answer 1

【答案】（1）t=s时，△ABQ≌△CBP；

（2）结论∠CMQ=60°不变，理由见解析.

【解析】试题分析:(1)根据△ABQ≌△CBP,利用全等三角形的性质可得:BQ=BP,根据动点运动的速度用含t的代数式表示出BQ和BP,列方程即可求解,

(2)根据三角形外角性质可得:∠CMQ=∠CAM+∠ACM,根据△ABQ≌△CBP可得∠BAQ=∠ACM,等量代换可得∠CMQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60,故∠CMQ不变.

试题解析:（1）∵△ABQ≌△CBP,

∴BQ=BP,

∴2t=5﹣2t,

∴t=,

∴t=s时,△ABQ≌△CBP,

（2）结论:∠CMQ=60°不变,

理由：∵△ABC是等边三角形,

∴∠ABQ=∠CAP,AB=CA,

又∵点P,Q运动速度相同，

∴AP=BQ,

在△ABQ与△CAP中,

∵,

∴△ABQ≌△CAP（SAS）,

∴∠BAQ=∠ACP,

∵∠QMC=∠ACP+∠MAC,

∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°.