Question

【题目】如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．

（1）求证：四边形AEDF是菱形；

（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边中线是斜边一半，求得DE=AE=AF=DF,

所以AEDF是菱形.

(2)由（1）得，AEDF是菱形，求得菱形对角线乘积的一半，求面积 .

试题解析：

（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，

∴Rt△ABD中，DE=AB=AE，

Rt△ACD中，DF=AC=AF，

又∵AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，

∴AE=AF，

∴AE=AF=DE=DF，

∴四边形AEDF是菱形.

（2）如图，∵菱形AEDF的周长为12，

∴AE=3，

设EF=x，AD=y，则x+y=7，

∴x2+2xy+y2=49，①

∵AD⊥EF于O，

∴Rt△AOE中，AO2+EO2=AE2，

∴（y）2+（x）2=32，

即x2+y2=36，②

把②代入①，可得2xy=13，

∴xy=，

∴菱形AEDF的面积S=xy= ．