题目内容
将所有质数从小到大依次排列为p1,p2,p3,…,证明:当n≥2时,pn+pn+1一定可以表示为三个或三个以上的不小于2的正整数(在这些正整数中,允许有相同的数)的乘积.
【答案】分析:将所有质数从小到大依次排列为p1,p2,p3,…,首先可从n=2去分析,可得pn+pn+1=p2+p3=8=2×2×2,即可得pn+pn+1可以表示为三个不小于2的正整数的乘积,然后分析n>2时的情况,可得Pn和Pn+1一定是奇数,然后设Pn=2k+1,Pn+1=2m+1,然后根据数的奇偶性质可得m+k+1只能是合数,则可得pn+pn+1=2k+1+2m+1=2(m+k+1)=2×A×B,则可证得结论正确.
解答:解:∵将所有质数从小到大依次排列为p1,p2,p3,…,
∴当n=2时,p2=3,p3=5,
∴pn+pn+1=p2+p3=8=2×2×2;
∴当n>2时,Pn和Pn+1一定是奇数(否则可以被2整除,就不是质数了),
∴它们可以表示成2k+1的形式,
∴Pn=2k+1,Pn+1=2m+1,
∴pn+pn+1=2k+1+2m+1=2(m+k+1),
∵pn<pn+1,
∴m>k,
∴m+k+1>2k+1=Pn,
∴m+k+1<2m+1=Pn+1,
∵pn和pn+1是连续质数,
∴处于它们之间的数m+k+1只能是合数,能被表示为A×B的形式,
∴pn+pn+1=2k+1+2m+1=2(m+k+1)=2×A×B,
∴当n≥2时,pn+pn+1一定可以表示为三个或三个以上的不小于2的正整数(在这些正整数中,允许有相同的数)的乘积.
点评:此题考查了质数与合数的应用.此题难度较大,解题的关键是掌握质数与合数的性质,注意分类讨论思想的应用.
解答:解:∵将所有质数从小到大依次排列为p1,p2,p3,…,
∴当n=2时,p2=3,p3=5,
∴pn+pn+1=p2+p3=8=2×2×2;
∴当n>2时,Pn和Pn+1一定是奇数(否则可以被2整除,就不是质数了),
∴它们可以表示成2k+1的形式,
∴Pn=2k+1,Pn+1=2m+1,
∴pn+pn+1=2k+1+2m+1=2(m+k+1),
∵pn<pn+1,
∴m>k,
∴m+k+1>2k+1=Pn,
∴m+k+1<2m+1=Pn+1,
∵pn和pn+1是连续质数,
∴处于它们之间的数m+k+1只能是合数,能被表示为A×B的形式,
∴pn+pn+1=2k+1+2m+1=2(m+k+1)=2×A×B,
∴当n≥2时,pn+pn+1一定可以表示为三个或三个以上的不小于2的正整数(在这些正整数中,允许有相同的数)的乘积.
点评:此题考查了质数与合数的应用.此题难度较大,解题的关键是掌握质数与合数的性质,注意分类讨论思想的应用.
练习册系列答案
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4月底,江南中学实验分校初三年级进行体育中考模拟考试.表一是2010年无锡市初中毕业升学体育考试项目与评分标准的一部分(男生).
表一
表二
(1)小明在这次模拟考试中三个项目的成绩分别是800米跑3分10秒,跳绳跳85个,实心球掷8.60米,则小明的体育模拟考试的得分是 分.
(2)将所有选择800米跑、30″跳绳和掷实心球这三个考试项目的男生分为一组,从001开始编排序号,依次是从小到大排列的连续整数,现从这一组中随机抽取 20位学生,其序号和模拟考试的得分如表二:
①这20位学生体育模拟考试得分的众数是 ;
②请在下面给出的图中画出这20名学生体育中考模拟考试得分的频数条形统计图,并计算出这20名学生的体育模拟考试的平均得分;
③根据表二,小明认为初三年级选择“800米跑、30″跳绳和掷实心球”这三个考试项目的男生的总人数一定超过80人,你认为小明的判断是否合理?若不合理,请你利用所学的中位数的有关知识估算出最可能的人数.
表一
分值 项目 |
速度耐力类 (15分) |
灵巧类 (10分) |
力量类 (10分) |
800米跑 (分秒) |
30跳绳 (次) |
掷实心球 (米) | |
15 | 3:15 | ||
14 | 3:20 | ||
13 | 3:25 | ||
12 | 3:35 | ||
11 | 4:00 | ||
10.5 | 4:01以下 | ||
10 | 92 | 9.60 | |
9 | 86 | 7.70 | |
8 | 80 | 5.30 | |
7 | 79以下 | 5.29以下 |
序号 | 006 | 010 | 011 | 016 | 020 | 023 | 025 | 028 | 029 | 035 |
成绩 | 34 | 35 | 35 | 33 | 35 | 32 | 34 | 35 | 34 | 34 |
序号 | 037 | 040 | 042 | 043 | 050 | 051 | 055 | 058 | 060 | 069 |
成绩 | 35 | 35 | 34 | 35 | 35 | 34 | 33 | 33 | 32 | 35 |
(2)将所有选择800米跑、30″跳绳和掷实心球这三个考试项目的男生分为一组,从001开始编排序号,依次是从小到大排列的连续整数,现从这一组中随机抽取
①这20位学生体育模拟考试得分的众数是
②请在下面给出的图中画出这20名学生体育中考模拟考试得分的频数条形统计图,并计算出这20名学生的体育模拟考试的平均得分;
③根据表二,小明认为初三年级选择“800米跑、30″跳绳和掷实心球”这三个考试项目的男生的总人数一定超过80人,你认为小明的判断是否合理?若不合理,请你利用所学的中位数的有关知识估算出最可能的人数.