Question

已知：m，n是方程x²-6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=-x²+bx+c的图象经过点B（m，0），A（0，n）
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，顶点为D，求出C，D的坐标和△ACD的面积；
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，交AC于F点，如直线AC把△PCH分成面积1：3的两部分，请求出P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）通过解方程即可求出m、n的值，那么A、B两点的坐标就可求出．然后根据A、B两点的坐标即可求出抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式即可求出C、D两点的坐标．由于△ACD的面积无法直接求出，可用其他图形的面积的“和，差关系”来求出．过D作DM⊥x轴于M，那么△ACD的面积=梯形DMOA的面积+△DCM的面积-△AOC的面积．由此可求出△ACD的面积．
（3）由于△PCH被直线AC分成的两个小三角形等高，因此面积比就等于底边的比．如果设PH与AC的交点为E，那么EH就是抛物线与直线AC的函数值的差，而EP就是E点的纵坐标．然后可根据直线BC的解析式设出E点的坐标，然后表示出EH，EP的长．进而可分两种情况进行讨论：①当EH=

3

2

EP时；②当EH=

2

3

EP时．由此可得出两个不同的关于E点横坐标的方程即可求出E点的坐标．也就求出了P点的坐标．

解答：解：（1）解方程x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1，
由m＜n，有m=1，n=5，
∴点A、B的坐标分别为A（0，5），B（1，0），
将A（0，5），B（1，0）的坐标分别代入y=-x²+bx+c．
得

-1+b+c=0 c=5

，
解这个方程组，得

b=-4 c=5

，
∴抛物线的解析式为y=-x²-4x+5；

（2）由y=-x²-4x+5，令y=0，得-x²-4x+5=0，
解这个方程，得x₁=-5，x₂=1，
∴C点的坐标为（-5，0）．
由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M．
则S_△DMC=

1

2

×9×（5-2）=

27

2

，
S_梯形MDAO=

1

2

×2×（9+5）=14，
S_△AOC=

1

2

×5×5=

25

2

∴S_△ACD=S_梯形MDAO+S_△DMC-S_△AOC=14+

27

2

-

25

2

=15．

（3）设P点的坐标为（a，0）
∵线段AC过A、C两点，
∴AC所在的直线方程为y=x+5．
∴PH与直线AC的交点坐标为E（a，a+5），
PH与抛物线y=-x²-4x+5的交点坐标为H（a，-a²-4a+5）．
由题意，得①EH=

3

2

EP，
即（-a²-4a+5）-（a+5）=

3

2

（a+5），
解这个方程，得a=-

3

2

或a=-5（舍去）
②EH=

2

3

EP，即（-a²-4a+5）-（a+5）=

2

3

（a+5），
解这个方程，得a=-

2

3

或a=-5（舍去）
P点的坐标为（-

3

2

，0）或（-

2

3

，0）．

点评：此题考查一元二次方程的解法、二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．解题的关键是注意函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差，注意数形结合思想，分类讨论思想与方程思想的应用．