Question

如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；
②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；
③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）当∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积．

Answer 1

（1）证明：由作法可知：直线DE是线段AC的垂直平分线，

∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，且AD=CD，AO=CO。
又∵CE∥AB，∴∠ADO =∠CEO。
∴△AOD≌△COE（AAS）。∴OD=OE。∴四边形ADCE是菱形。
（2）解：当∠ACB=90°时，
由（1）知AC⊥DE，∴OD∥BC。
∴△ADO∽△ABC。∴。
又∵BC=6，∴OD=3。
又∵△ADC的周长为18，∴AD+AO=9， 即AD=9﹣AO。
∴，解得AO=4
∴。

作图（复杂作图），线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
（1）利用直线DE是线段AC的垂直平分线，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，从而得出△AOD≌△COE，即可得出四边形ADCE是菱形。
（2）利用当∠ACB=90°时，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可由相似三角形的性质和勾股定理得出OD和AO的长，即根据菱形的性质得出四边形ADCE的面积。