题目内容

m | x |
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)根据图象回答,当x为何值时,一次函数值大于反比例函数值;
(3)求△AOB的面积;
(4)在第一象限内,双曲线上是否存在一点C,使得△AOC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)将点A(1、4),B(2、n)分别代入一次函数的解析式y=kx+b与反比例函数y=
的解析式,求出k,b,m即可.
(2)观察图象,可直接得出答案.
(3)作AE⊥x轴,BF⊥x轴垂足分别为E、F,根据反比例函数k的几何意义,可得:S△AOB=S四边形AEFB即可求解;
(4)设C(a,
),即可表示出△AOC的三边的长,根据勾股定理的逆定理,分情况讨论,判断m的值,从而确定C的坐标.
m |
x |
(2)观察图象,可直接得出答案.
(3)作AE⊥x轴,BF⊥x轴垂足分别为E、F,根据反比例函数k的几何意义,可得:S△AOB=S四边形AEFB即可求解;
(4)设C(a,
4 |
a |
解答:
解:(1)∵反比例函数y=
的图象经过点A(1,4),B(2,n),
∴4=
,
解得m=4,
∴反比例函数的解析式为y=
.
∴n=
,
∴n=2.
∴B点的坐标为(2,2).
∵一次函数y=kx+b的图象经过A(1,4),B(2,2),
∴4=k+b,2=2k+b,
解得k=-2,b=6.
∴y=-2x+6;
(2)(2分)根据图象可知,当1<x<2时,一次函数值大于反比例函数值.
(3)(4分)作AE⊥x轴,BF⊥x轴垂足分别为E、F.
则S△AOB=S四边形AEFB=
(BF+AE)•EF
=
(2+4)×(2-1)
=3;
(4)(4分)在第一象限内存在点C,使得△AOC是直角三角形.
理由:设C(a,
).
∵OA2=12+42=17,OC2=a2+(
)2=a2+
,AC2=(4-
)2+(a-1)2=17+
-
+a2-2a,
(i)显然∠AOC≠90°;
(ii)当∠OAC=90°时,则OA2+AC2=OC2,
∴17+(17+
-
+a2-2a)=a2+
=a2+
,
,整理,得34-
-2a=0,
∴a2-17a+16=0,
(a-16)(a-1)=0,
∴a1=16,a2=1.
当a=1时,不合题意,舍去.
∴a=16,则
=
=
.
∴C(16,
);
(iii)当∠ACO=90°时,则AC2+OC2=OA2
∴(17-
+
-2a+a2)+(
+a2)=17+a2+
=17,
整理得
-
+2a2-2a=0,
32-32a+2a4-2a3=0,
32(1-a)-2a3(1-a)=0,
(1-a)(32-2a3)=0,
∴a1=1,a2 =
=2
,
当a=1时,不合题意舍去.
∴a=2
,
∴
=
=
(没有化简,不扣分)
∴C(2
,
).
综合(i)(ii)(iii)可知当C点的坐标为(16,
)或(2
,
)时,△AOC是直角三角形.

m |
x |
∴4=
m |
1 |
解得m=4,
∴反比例函数的解析式为y=
4 |
x |
∴n=
m |
2 |
∴n=2.
∴B点的坐标为(2,2).
∵一次函数y=kx+b的图象经过A(1,4),B(2,2),
∴4=k+b,2=2k+b,
解得k=-2,b=6.
∴y=-2x+6;
(2)(2分)根据图象可知,当1<x<2时,一次函数值大于反比例函数值.
(3)(4分)作AE⊥x轴,BF⊥x轴垂足分别为E、F.
则S△AOB=S四边形AEFB=
1 |
2 |
=
1 |
2 |
=3;
(4)(4分)在第一象限内存在点C,使得△AOC是直角三角形.
理由:设C(a,
4 |
a |
∵OA2=12+42=17,OC2=a2+(
4 |
a |
16 |
a2 |
4 |
a |
16 |
a2 |
32 |
a |
(i)显然∠AOC≠90°;
(ii)当∠OAC=90°时,则OA2+AC2=OC2,
∴17+(17+
16 |
a2 |
32 |
a |
16 |
a2 |
16 |
a2 |
,整理,得34-
32 |
a |
∴a2-17a+16=0,
(a-16)(a-1)=0,
∴a1=16,a2=1.
当a=1时,不合题意,舍去.
∴a=16,则
4 |
a |
4 |
16 |
1 |
4 |
∴C(16,
1 |
4 |
(iii)当∠ACO=90°时,则AC2+OC2=OA2
∴(17-
32 |
a |
16 |
a2 |
16 |
a2 |
16 |
a2 |
整理得
32 |
a2 |
32 |
a |
32-32a+2a4-2a3=0,
32(1-a)-2a3(1-a)=0,
(1-a)(32-2a3)=0,
∴a1=1,a2 =
3 | 16 |
3 | 2 |
当a=1时,不合题意舍去.
∴a=2
3 | 2 |
∴
4 |
a |
4 | |||
2
|
3 | 4 |
∴C(2
3 | 2 |
3 | 4 |
综合(i)(ii)(iii)可知当C点的坐标为(16,
1 |
4 |
3 | 2 |
3 | 4 |
点评:本题主要考查了反比例函数中k的几何意义,以及勾股定理的逆定理,注意分情况讨论是关键.

练习册系列答案
相关题目

2 |
x |
A、x>1 |
B、x<-2或0<x<1 |
C、-2<x<1 |
D、-2<x<0或x>1 |