题目内容

精英家教网如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=
mx
的图象相交于点A(1、4),B(2、n)
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)根据图象回答,当x为何值时,一次函数值大于反比例函数值;
(3)求△AOB的面积;
(4)在第一象限内,双曲线上是否存在一点C,使得△AOC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)将点A(1、4),B(2、n)分别代入一次函数的解析式y=kx+b与反比例函数y=
m
x
的解析式,求出k,b,m即可.
(2)观察图象,可直接得出答案.
(3)作AE⊥x轴,BF⊥x轴垂足分别为E、F,根据反比例函数k的几何意义,可得:S△AOB=S四边形AEFB即可求解;
(4)设C(a,
4
a
),即可表示出△AOC的三边的长,根据勾股定理的逆定理,分情况讨论,判断m的值,从而确定C的坐标.
解答:精英家教网解:(1)∵反比例函数y=
m
x
的图象经过点A(1,4),B(2,n),
∴4=
m
1

解得m=4,
∴反比例函数的解析式为y=
4
x

∴n=
m
2

∴n=2.
∴B点的坐标为(2,2).
∵一次函数y=kx+b的图象经过A(1,4),B(2,2),
∴4=k+b,2=2k+b,
解得k=-2,b=6.
∴y=-2x+6;

(2)(2分)根据图象可知,当1<x<2时,一次函数值大于反比例函数值.

(3)(4分)作AE⊥x轴,BF⊥x轴垂足分别为E、F.
则S△AOB=S四边形AEFB=
1
2
(BF+AE)•EF
=
1
2
(2+4)×(2-1)
=3;

(4)(4分)在第一象限内存在点C,使得△AOC是直角三角形.
理由:设C(a,
4
a
).
∵OA2=12+42=17,OC2=a2+(
4
a
)2=a2+
16
a2
AC2=(4-
4
a
)2+(a-1)2=17+
16
a2
-
32
a
+a2-2a

(i)显然∠AOC≠90°;
(ii)当∠OAC=90°时,则OA2+AC2=OC2
∴17+(17+
16
a2
-
32
a
+a2-2a)=a2+
16
a2
=a2+
16
a2

,整理,得34-
32
a
-2a=0

∴a2-17a+16=0,
(a-16)(a-1)=0,
∴a1=16,a2=1.
当a=1时,不合题意,舍去.
∴a=16,则
4
a
=
4
16
=
1
4

∴C(16,
1
4
);
(iii)当∠ACO=90°时,则AC2+OC2=OA2
∴(17-
32
a
+
16
a2
-2a+a2)+(
16
a2
+a2)=17
+a2+
16
a2
=17,
整理得
32
a2
-
32
a
+2a2-2a=0,
32-32a+2a4-2a3=0,
32(1-a)-2a3(1-a)=0,
(1-a)(32-2a3)=0,
∴a1=1,a2 =
316
=2
32

当a=1时,不合题意舍去.
∴a=2
32

4
a
=
4
2
32
=
34
(没有化简,不扣分)
∴C(2
32
34
).
综合(i)(ii)(iii)可知当C点的坐标为(16,
1
4
)或(2
32
34
)时,△AOC是直角三角形.
点评:本题主要考查了反比例函数中k的几何意义,以及勾股定理的逆定理,注意分情况讨论是关键.
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