Question

如图，⊙O的弦AB=8，直径CD⊥AB于M，OM ：MD ="3" ：2， E是劣弧CB上一点，连结CE并延长交CE的延长线于点F．

求：（1）⊙O的半径；
（2）求CE·CF的值．

Answer 1

（1）5；（2）80.

试题分析：（1）连接AO，由OM : MD=3:2，可设OM="3" k，MD="2" k (k >0)，则OA="OD=5" k，在Rt△OAM中，由勾股定理可得：k=1，从而求得⊙O的半径；（2）连接AE，通过证明DACE∽DFCA即可得AC²=CE×CF，在Rt△ACM中，由勾股定理可得：AC²=AM²+CM²=16+64=80，从而求得CE×CF=80.
试题解析：（1）如图，连接AO，
∵OM : MD=3:2，∴可设OM="3" k，MD="2" k (k >0)，则OA="OD=5" k.
又∵弦AB=8，直径CD⊥AB于M，∴AM=4.
在Rt△OAM中，由勾股定理可得：k="1" ．
∴圆O的半径为5 ．

（2）如图，连接AE，
由垂径定理可知：ÐAEC=ÐCAF，
又∵ÐACF=ÐACF，∴DACE∽DFCA. ∴，即AC²=CE×CF.
在Rt△ACM中，由勾股定理可得：AC²=AM²+CM²="16+64=80" ，
∴CE×CF=80.