题目内容
【题目】如图所示,I是△ABC三内角平分线的交点,IE⊥BC于E,AI延长线交BC于D,CI的延长线交AB于F,下列结论:①∠BIE=∠CID;②S△ABC=IE(AB+BC+AC);③BE=(AB+BC﹣AC);④AC=AF+DC.其中正确的结论是_____.
【答案】①②③.
【解析】①∵I为△ABC三条角平分线的交点,IE⊥BC于E,
∴∠ABI=∠IBD,
∵∠DIC=∠DAC+∠ACI=(∠BAC+∠ACB),∠ABI=∠ABC,
∴∠CID+∠ABI=90°,
∵IE⊥BC于E,
∴∠BIE+∠IBE=90°,
∵∠ABI=∠IBE,
∴∠BIE=∠CID;
即①成立;
②∵I是△ABC三内角平分线的交点,
∴点I到△ABC三边的距离相等,
∴S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACI=ABIE+BCIE+ACIE=IE(AB+BC+AC),
即②成立;
③如图,过I作IH⊥AB于H,IG⊥AC于G,
∵I是△ABC三内角平分线的交点,
∴IE=IH=IG,
在Rt△AHI与Rt△AGI中,
,
∴Rt△AHT≌Rt△AGI(HL),
∴AH=AG,同理BE=BH,CE=CG,
∴BE+BH=AB+BC﹣AH﹣CE=AB+BC﹣AC,
∴BE=(AB+BC﹣AC);
即③成立;
④由③证得IH=IE,
∵∠FHI=∠IED=90°,
∴△IHF与△DEI不一定全等,
∴HF不一定等于DE,
∴AC=AG+CG=AH+CE≠AF+CD,
即④错误.
故答案为:①②③.
【题目】水果市场将120吨水果运往各地商家,现有甲、乙、丙三种车型供选择,每辆车的运载能力和运费如下表所示:(假设每辆车均满载)
车型 | 甲 | 乙 | 丙 |
汽车运载量(吨/辆) | 5 | 8 | 10 |
汽车运费(元/辆) | 400 | 500 | 600 |
(1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送,需运费8200元,问分别需甲、乙两种车型各几辆?
(2)为了节约运费,市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆),已知它们的总辆数为16辆,你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗?