题目内容
如图,在线段AB上取一点C,分别以AC,CB为边向上作等边△ADC与等边△CEB,连接DB,AE,DB与AE交于点O,AE交CD于点M,BD交CE于点N,连接MN.求证:MN∥AB.
分析:先由△ACD和△BCE是等边三角形,可知AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°,∠ECB=60°,故可得出∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,根据SAS定理可知△ACE≌△DCB,即可得∠CAM=∠CDN,再根据∠ACD=∠ECB=60°,A、C、B三点共线可得出∠DCN=60°,由全等三角形的判定定理可知,△ACM≌△DCN,故MC=NC,再根据∠MCN=60°可知△MCN为等边三角形,故∠NMC=∠DCN=60°故可得出结论.
解答:证明:∵△ACD和△BCE是等边三角形,
∴AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°,∠ECB=60°,
∵∠DCA=∠ECB=60°,
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,
在△ACE与△DCB中,
,
∴△ACE≌△DCB,
∴∠CAM=∠CDN,
∵∠ACD=∠ECB=60°,而A、C、B三点共线,
∴∠DCN=60°,
在△ACM与△DCN中,
,
∴△ACM≌△DCN(ASA),
∴MC=NC,
∵∠MCN=60°,
∴△MCN为等边三角形,
∴∠NMC=∠DCN=60°,
∴∠NMC=∠DCA,
∴MN∥AB.
∴AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°,∠ECB=60°,
∵∠DCA=∠ECB=60°,
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,
在△ACE与△DCB中,
|
∴△ACE≌△DCB,
∴∠CAM=∠CDN,
∵∠ACD=∠ECB=60°,而A、C、B三点共线,
∴∠DCN=60°,
在△ACM与△DCN中,
|
∴△ACM≌△DCN(ASA),
∴MC=NC,
∵∠MCN=60°,
∴△MCN为等边三角形,
∴∠NMC=∠DCN=60°,
∴∠NMC=∠DCA,
∴MN∥AB.
点评:此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
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