题目内容

.已知:在平面直角坐标系中,抛物线)交轴于AB两点,交轴于点C,且对称轴为直线

(1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)若点P(0,t)是轴上的一个动点,请进行如下探究:

探究一:如图1,设△PAD的面积为S,令Wt?S,当0<t<4时,W是否有最大值?如果有,求出W的最大值和此时t的值;如果没有,说明理由;

探究二:如图2,是否存在以PAD为顶点的三角形与Rt△AOC相似?如果存在,求点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

(参考资料:抛物线对称轴是直线

 


解:(1)∵抛物线)的对称轴为直线

,∴

(2)探究一:当时,有最大值.

∵抛物线轴于两点,交轴于点

时,作轴于

       

       

       

∴当时,有最大值,

探究二:

 


存在.分三种情况:

①当时,作轴于,则

轴,轴,

,∴

此时,又因为

,∴,∴

∴当时,存在点,使

此时点的坐标为(0,2).

②当时,则

 


,∴

,∴

不相似,此时点不存在.

③当时,以为直径作,则的半径

圆心轴的距离.∵,∴轴相离.

不存在点,使

∴综上所述,只存在一点使相似.

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