Question

已知关于x的方程（n-1）x²+mx+1=0  ①有两个相等的实数根．
（1）求证：关于y的方程m²y²-2my-m²-2n²+3=0  ②必有两个不相等的实数根；
（2）如果方程①的一个根是-

1

2

，求方程②的根．

Answer 1

分析：（1）方程①有两个相等的实数根，则n-1≠0，△₁=0，可得m²=4n-4＞0，代入方程②的判别式△₂=8m²（n+3）（n-1）＞0．
（2）于方程①两根相等，都是-

1

2

，由根与系数的关系，列出m与n的方程组，求出m与n的值，代入方程②，求出其根．

解答：（1）证明：∵方程①有两个相等的实数根，
∴△₁=0，
即n-1≠0，m²-4（n-1）=0，
m²=4（n-1）．
因为m²≥0，n≠1．
∴m²=4（n-1）＞0，n＞1．
方程②中，△₂=（-2m）²-4m²（-m²-2n²+3）=4m²（1+m²+2n²-3）=4m²（m²+2n²-2）．
将m²=4n-4代入，得△₂=4m²（2n²+4n-6）=8m²（n+3）（n-1）．
∵m²＞0，n＞1．
∴△₂＞0，
∴方程②有两个不相等的实数根．

（2）解：∵方程①有两个相等的实数根，
∴两根都是-

1

2

，
则-

m

n-1

=-1，

1

n-1

=

1

4

，
解得n=5，m=4．
代入方程②得16y²-8y-16-50+3=0．
解得y₁=-

7

4

，y₂=

9

4

．

点评：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△＞0?方程有两个不相等的实数根；
②△=0?方程有两个相等的实数根；
③△＜0?方程没有实数根．
（2）一元二次方程根与系数的关系：x_l+x₂=-

b

a

，x_l•x₂=

c

a

．