题目内容
如图，记抛物线y=-x2+1的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P1，P2，…Pn-1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Qn-1，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…，Pn-2Pn-1Qn-1的面积分别为S1，S2，…，这样就有S1=
，S2=
，…；记W=S1+S2+…+Sn-1，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（ ）
| n2-1 |
| 2n3 |
| n2-4 |
| 2n3 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
分析：已知点Pn都在x轴上且将线段OA分成n等份，则每等分为
，点Qn都在抛物线y=-x2+1上，三角形面积等于底乘以高的积的
，利用垂直条件求出高，就可以把OP1Q1，P1P2Q2，…的面积表示出来，找出规律，写出Sm的表达式再求和，最后当n很大时，求出W最接近的常数．
| 1 |
| n |
| 1 |
| 2 |
解答：解：由图象知S3=
，总结出规律：Sm=
(1≤m≤n-1)，
则w=S1+S2+…+Sn-1=
+
+…+
=
=
=
=
-
-
+
-
=
-
-
，
当n越来越大时，可知W最接近的常数为
．
故选C．
| n2-9 |
| 2n3 |
| n2-m2 |
| 2n3 |
则w=S1+S2+…+Sn-1=
| n2-1 |
| 2n3 |
| n2-4 |
| 2n3 |
| n2-(n-1)2 |
| 2n3 |
| (n-1)n2-[1+22+…+(n-1)2] |
| 2n3 |
=
n3-n2-
| ||
| 2n3 |
=
| 4n3+3n2-7n |
| 12n3 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 4n |
| 1 |
| 12n2 |
=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4n |
| 1 |
| 12n2 |
当n越来越大时，可知W最接近的常数为
| 1 |
| 3 |
故选C．
点评：此题考查抛物线性质和面积公式，是道规律题，要结合图象和几何关系，求出统一表达式Sm，学会观察图形求面积．
练习册系列答案
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，S2=
，…；记W=S1+S2+…+Sn-1，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（ ）
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